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Corrigé 3

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Corrigé de la série 3

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Feuille 1 : Arithmétique élémentaire et congruences

Exercice Calculer l 'inverse de modulo Exercice Exercice a et b sont premiers entre eux et N N On considère l 'équation ax + by = N (E)

Wallis et Futuna

Cours de

MATHÉMATIQUES

- Fabien PUCCI -

Classe de Terminale S

Enseignement de SpÃ©cialitÃ©

Année 2015

Table des matières

1 Division euclidienne5

I Divisibilité dansZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Feuille d"exercices no1 :Diviseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Feuille d"exercices no2 :Division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Congruences dansZ17

I Congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II Critères de divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Feuille d"exercices no3 :Congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 PGCD et PPCM31

I Plus Grand Commun Diviseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II Nombres premiers entre eux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III Plus Petit Commun Multiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Devoir surveillé no1 :Arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Les Grands Théorèmes45

I Théorème de Bézout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II Le théorème de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III Exercices classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Les nombres Premiers57

I Définition et propriétés immédiates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

II Divisibilité et nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III(Hors-programme)Petit théorème de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Fiche no1 :Arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Matrices73

I L"ensemble des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

II Systèmes linéaires et matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

III Suites de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4Chapitre 0:

Fiche no2 :Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7 Bac 2015 spécialité101

F.PUCCI

Chapitre

Division euclidienne

"arithmétiqueconcerne l"étude des entiers naturelsNou relatifsZ.

Avant-propos

ATTENTION

?Il est important de remarquer si la résolution se fait dansNou dansZ. ?Le mode de résolution dans les ensemblesNouZest différent de celui dans l"ensemble des réelsR. ?Toute partie non vide et majorée deNadmet un plus grand élément. ?Toute suite dansNstrictement décroissante est stationnaire au bout d"un certain rang.

Théorème I(Admis)

Sommaire

I Divisibilité dansZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II Division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Feuille d"exercices no1 :Diviseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Feuille d"exercices no2 :Division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . 15 5

6Chapitre 1:Division euclidienne

Remplir la grille de nombres croisés ci-dessous sachant quetous les nombres y figurant sont des entiers naturels non nuls. 1 2 3 4

5A B C D E

Horizontalement

1/Carré parfait dont le produit des chiffres est 756.

2/Le nombre formé de ses deux premiers chiffres est le même que celui formé de ses deux

derniers chiffres.

3/Multiple de 139.Reste de la division euclidienne de 2001 par 9.

4/Permutation de 23444.

5/Carré parfait.Le produit de ses chiffres est 392.

Verticalement

A/La somme de ses chiffres est 35.

B/Entier divisible par 11.

C/Nombre palindrome (qui se lit aussi bien à l"endroit qu"à l"envers).

D/Nombre premier. Cube parfait.

E/Entier naturel admettant un seul diviseur positif. Le produit de ses chiffres est 72 et seul son dernier chiffe est pair.

F.PUCCI

Chapitre 1:Division euclidienne7

IDivisibilité dansZ

On noteN={0; 1; 2; 3;...}l"ensemble des entiers naturels et Z={...;-3;-3;-1; 0; 1; 2; 3;...}l"ensemble des entiers relatifs.

Rappels 1

Soientaetbdeux entiers (a?= 0). On dit queadivisebet on notea|bsi, et seulement s"il existe un entierktel queb=ka. On dit aussi queaest undiviseurdeb. On dit encore quebest unmultipledea.

Définition 1

Exemple 1:7 divise 56 car 56 = 7×8 avec 8 entier. 7 est un diviseur de 56 et 56 est un multiple de 7.

On peut écrire 7|56.

Remarques:

1/0 est multiple de tout entier.

2/Tout entier non nulna (au moins) pour diviseurs dansZ1,n,-1 et-n.

3/1 a seulement deux diviseurs dansZ, -1 et lui-même (donc 1 a pour seul diviseur 1 dans

N).

Commeaet-aont les mêmes diviseurs dansZ, on se restreint à l"étude de la divisibilité dans

1/Tout diviseur positif d"un naturel non nulnvérifie : 1?d?n.

2/Tout naturel non nul a un nombre fini de diviseurs.

Proposition 1

Preuve:

1/Soitnun naturel non nul. L"entierddivisens"il existe un entierktel quen=kd. Sid >0, alors

k >0 (carnest positif) et ainsik?1.

Par conséquent :kd?d?n?det 1?d?n.

2/Il est clair qu"un entierna au plusndiviseurs dansNdonc au plus 2ndansZ. Un entiernadmet

donc un nombre fini de diviseurs.

Remarque:0 a une infinité de diviseurs.

Pour simplifier les écritures, on notera souventD(n), l"ensemble des diviseurs dendansN.

F.PUCCII. DIVISIBILITÉ DANSZ

8Chapitre 1:Division euclidienne

Exemple 2:

?Les diviseurs de 24 dansNsont :D(24) = 1; 2; 3; 4; 6; 12; 24. ?Les diviseurs de 24 dansZsont :-24;-12; 6;-4;-3;-2;-1; 1; 2; 3; 4; 6; 12; 24. Un nombre premier est un nombre entier strictement plus grand que 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même dansN.

Définition 2

Exemple 3:2, 3, 5, 7, 11, 13, ...sont des nombres premiers. Remarque:Sinest un nombre premiers alorsD(n) ={1, n}. Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si, et seulement, leurs seuls diviseurs com- muns sont -1 et 1. Siaetbsont deux entiers premiers entre eux, on notea?b= 1.

Définition 3

Siaest un nombre premier alors tout nombre entierbdifférent deaest premier aveca.

Exemple 4:

D(15) ={-15;-5;-3;-1; 1; 3; 5; 15}

D(14) ={-14;-7;-2;-1; 1; 2; 7; 14}?

=?14?15 = 1.

1/1 diviseapour tout entier relatifa.

2/adiviseapour tout entier relatifa.

3/Siadivisebet sibdivisec, alors,adivisec: on dit que la relation de divisibilité

esttransitive. Énoncé équivalent : Sibest un multiple deaet sicest un multiple deb, alorsc est un multiple dea.

4/Siadivisebet simest un entier, alorsadivisemb.

5/Siadivisebet siadivisec, alorsadiviseb+cet plus généralement,adivise

mb+ncoùmetnsont des entiers quelconques. 1

Proposition 2

1.mb+ncest une combinaison linéaire debetc.

I. DIVISIBILITÉ DANSZF.PUCCI

Chapitre 1:Division euclidienne9

Preuve:

1/a=a×1, donc 1 divisea.

2/a=a×1, doncadivisea.

3/Siadiviseb, alors il existekentier tel queb=ka.

Sibdivisec, alors il existek?entier tel quec=k?b.

Alorsc=k?b=k?(ka) = (k?k)aoùk?k?Z, doncadivisec.

4/Démonstration analogue.

Exemple 5:Sia?Zdivise 3n+2 etn-3 alorsa|11. En effet,adivise alors (3n+2)-3(n-3) = 11.

1ExerciceDéterminer les entiersntels que 7 divisen+ 3.

Correction:7 divisen+ 3 si, et seulement si, il existe un entierktel quen+ 3 = 7k, soitn= 7k+ 3.

L"ensemble des solutions est :S={7k-3,k?Z}

2ExerciceDéterminer les entiersntels que 2n-5 divise 6.

Correction:Les diviseurs de 6 sont -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 et 6.

On résout les différentes équations sous la condition 2n-5?6 et on trouve comme solutions :S=

{1 ; 2 ; 3 ; 4}. 3 ExerciceTrouver les entiersnpour lesquelsn+ 15n+ 2est entier. Correction:On simplifie d"abord un peu et on isole la variablen: n+ 15 =n+ 2 + 13 doncn+ 15 n+ 2=(n+ 2) + 13n+ 2= 1 +13n+ 2. Le problème s"énonce alors de façon plus simple : n+ 15 n+ 2?Z??13n+ 2?Z, c"est-à-dire si, et seulement sin+ 2 est un diviseur de 13.

Les diviseurs de 13 sont -13, -1, 1 et 13. Il y a donc 4 équationsà résoudre (n+ 2 =-13,n+ 2 =...).

On obtient :S={-15;-3;-1; 11}.

F.PUCCII. DIVISIBILITÉ DANSZ

10Chapitre 1:Division euclidienne

D"une manière générale,

Pour résoudre un problème du typef(n)|g(n), on se ramène à un problème du type h(n)|AoùAest un entierindépendantden. 2

Méthode 1

4ExerciceDéterminer les entiersntels que 2n-3 divisen+ 5.

Correction:Sinun entier tel que 2n-3 divisen+ 5 alors 2n-3 divise aussi 2n+ 10 et aussi la différence (2n+ 10)-(2n-3) = 13. Les diviseurs de 13 sont -13, -1, 1 et 13. On en déduit quenvaut -5, 1, 2 ou 8. Réciproquement, ces nombres sont tels que 2n-3|n+ 5.

On obtient :S={-5,1,28}.

5Exercice (Équations diophantiennes3)Déterminer les entiersxetytels quex2-y2= 9.

Pour les problèmes donnés sous forme additive, on essaiera de se ramener à une forme multiplicative du typeA×B=C, où on connaît les diviseurs deC.

Méthode 2

Correction:Simplifions d"abord le champ de recherche en remarquant que si (x;y) est solution, alors (x;-y), (-x;y) et (-x;-y) sont aussi solutions. On peut alors se restreindre àxetynaturels (positifs).

Il est naturel de factoriser :x2-y2= (x-y)(x+y).

Ainsi,x-yetx+ysont nécessairement des diviseurs de 9. Or, l"ensemble des diviseurs de 9 sont -9, -3, -1, 1, 3, 9. On réduit encore le champ d"investigation en remarquant quecommex2-y2est positif, avecxety positifs alors nécessairementx > y. On en déduit alors quex-yetx+ysont positifs, etx-y?x+y. Il ne reste plus qu"à étudier les différentes possibilités : ?Six-y= 1 alorsx+y= 9, d"oùx= 5 ety= 4. ?Six-y= 3 alorsx=y= 3 d"oùx= 3 ety= 0.

Finalement, il ne reste que six couples solutions possibles: (5;4), (5;-4), (-5;4), (-5;-4), (3;0) et

(-3;0).

Comme on a raisonné par condition nécessaire, on vérifie que ces couples sont solutions du problème.

Conclusion :S=?(5;4); (5;-4),(-5;4),(-5;-4),(3;0),(-3;0)?.

2. En d"autres termes, on isole la variable.

3. Diophante : mathématicien, IIIesiècle après J.C.)

I. DIVISIBILITÉ DANSZF.PUCCI

Chapitre 1:Division euclidienne11

Les nombres impairs sont exactement les entiers de la forme 2p+ 1 oùp?Z.

Corollaire 1

Preuve:Il y a deux choses à prouver.

1/Tout nombre de la forme 2p+ 1 oùp?Zest impair.

En effet, 2|2pmais 2 ne divise pas 1, donc 2p+ 1 n"est pas divisible par 2, donc est impair.

2/Tout nombre impair s"écrit sous la forme 2p+ 1 oùp?Z.

Par l"absurde, supposons qu"il existe un nombre impair positifmtel quem-1 n"est pas pair. On

note encoremle plus petit entier vérifiant cette propriété et on va prouver qu"en faitm?1 vérifie

aussi cette propriété.

Comme 2|(-2) alors 2|m??2|(m-2).

Or 2 ne divise pasmc"est-à-dire quemest impair de même quem-2 qui est impair. Mais, par définition dem,m-1 est nombre impair à qui, si on retranche 1, donne un nombre impairm-2. Ceci contredit quemest le plus petit impair vérifiant cette propriété. Ainsi tout nombre impair positifqest tel queq-1 soit pair (i.e)q-1 = 2p, c"est-à-direq= 2p+1.

De même avec les négatifs.

6ExerciceProuver que la somme de 3 entiers consécutifs est divisible par 3.

IIDivision euclidienne

On étudie de façon approfondie la division des nombres entiers vue dans les petites classes. Soitaun entier et soitbun entier naturel non nul. Il existe ununiqueentierqet un unique entierrtels que a=bq+ret 0?r < b.(1.1) On dit qu"on a effectué la division euclidienne deaparb. qs"appelle le quotient etrle reste.

Théorème II(Division euclidienne dansN)

Preuve:On admet d"abord la propriété suivante : toute partie non vide deNadmet un plus petit

élément.

Il y a deux parties à démontrer dans ce théorème :l"existencedu couple (q;r), puis sonunicité.

Existence deqetr:

1/Premier cas : Si 0?a < balors le couple (q;r) = (0;a) convient.

F.PUCCIII. DIVISION EUCLIDIENNE

12Chapitre 1:Division euclidienne

2/Second cas : Sia=balors le couple (1;a) convient.

3/Troisième cas : Supposons quea > b. En particulier,aetbsont donc tous deux strictement

positifs. On noteM(b) l"ensemble des multiples debinférieurs ou égaux àa:

M(b) ={kb,?k?Z, kb?a}.

b?M(b) doncM(b) est non vide et majorée para.D"après la propriété admise,M(b) admet donc un plus petit grand élément que l"on noteq.

Par définition deq, on a doncqb?a <(q+ 1)b

4. Posons alorsr=a-bq.rest un entier puisquea,betqle sont et on a : qb?a?r?0. Doncr?N.Commea <(q+ 1)balorsa-bq < b, c"est-à-direr < b.

On a donc bien 0?r < b.

Conclusion, dans tous les cas, il existe un couple (q;r) vérifiant la relation ( 1.1).

Unicité deqetrCette partie va donner toute son importance à l"inégalité stricter < bde la relation

1.1). Supposons qu"il existe deux couples (q;r) et (q?;r?) tels quea=bq+reta=bq?+r?, avec

0?r < bet 0?r?< b.

?Commea=bq+r=bq?+r?alorsb(q-q?) =r-r?avecq-q?entier :r-r?est multiple de b. ?Comme 0?r < balors-b <-r?0 et, en additionnant avec la relation 0?r?< b, on obtient :-b < r?-r < b.

Orr?-rest aussi multiple deb. Le seul multiple debcompris strictement entre-betbest0.Par conséquent :r?-r= 0 etr=r?.

En reportant dansa=bq+r=bq?+r?, on obtient alorsbq+r=bq?+rpuisbq=bq?, d"où q=q?carb?= 0.

Conclusion, le couple (q;r) est unique.

Exemple 6:123 = 37×3 + 12; 12 est le reste de la division euclidienne de 123 par 37. 7

ExerciceCalculer sin?

2015×π3?

1/bdiviseasi, et seulement si, le reste de la division deaparbest nul.

2/On peut étendre le théorème au cas oùaest entier (relatif) etbentier non nul :

a=bq+r, avec 0?r <|b|.

Proposition 3(Division euclidienne dansZ)

4. Par définition deq!

II. DIVISION EUCLIDIENNEF.PUCCI

Chapitre 1:Division euclidienne13

Exemple 7:-35 = 4×(-9) + 1.

8ExerciceMontrer que tout entiernnon divisible par 5 a un carré de la forme 5p+ 1 ou 5p-1

(raisonner par disjonction des cas).

9ExerciceSoitn?N. Quel est le reste de la division euclidienne de (n+ 2)2parn+ 3?

Même question avec (n+ 5)2etn+ 3.

F.PUCCIII. DIVISION EUCLIDIENNE

Terminale S spécialité - Feuille d"exercices no1Thème:Diviseurs

Diviseurs

1ExerciceDresser la listes des diviseurs de 150 et 230.

2ExerciceDéterminer les couples (x, y) d"entiers naturels qui vérifientx2=y2+ 21.

3ExerciceDéterminer les entiers relatifsnqui vérifient :

1/n2+n= 20.2/n2+ 2n= 35.

4ExerciceDéterminer les entiers relatifsntel que :

1/n+ 1 divise 3n-42/n+ 3|n+ 10.

5ExerciceSoitnun entier naturel.

1/Montrer que 2 divisen(n+ 1).

2/Montrer que 3 divisen(n+ 1)(n+ 2).

6ExerciceMontrer que pour tout entier relatifa, 6 divisea(a2-1).

On pourra se servir de l"exercice précédent.

7ExerciceSoit l"équation (E) dansN:xy-5x-5y-7 = 0.

1/Montrer que :xy-5x-5y-7 = 0??(x-5)(y-5) = 32.

2/Résoudre alors l"équation (E).

8ExerciceSoitnun entier naturel. Démontrer que quel que soitn, 3n4+ 5n+ 1 est impair et en

déduire que ce nombre n"est jamais divisible parn(n+ 1).

14F.PUCCI

Thème:Division euclidienne Terminale S spécialité - Feuille d"exercices no2

Division euclidienne

1ExerciceÉcrire la division euclidienne de -5000 par 17.

2ExerciceLa différence entre deux naturels est 538. Si l"on divise l"unpar l"autre le quotient est 13

et le reste 34. Quels sont ces deux entiers naturels?

3ExerciceTrouver les entiers naturelsnqui, divisés par 4, donnent un quotient égal au reste.

4ExerciceTrouver un naturel qui, divisé par 23, donne pour reste 1 et, divisé par 17, donne le même

quotient et pour reste 13.

5ExerciceLe quotient d"un entier relatifxpar 3 est 7. Quels sont les restes possibles?

En déduire quelles sont les valeurs dexpossibles.

6ExerciceSi l"on divise un entierapar 18, le reste est 13. Quel est le reste de la division deapar 6?

7ExerciceSi l"on divise un entierapar 6, le reste est 4. Quels sont les restes possibles de la division

deapar 18?

8ExerciceLa division euclidienne deaparbdonnea= 625b+ 8634. De quels naturels peut-on

augmenter à la foisaetbsans changer de quotient?

F.PUCCI15

16Chapitre 1:Division euclidienne

II. DIVISION EUCLIDIENNEF.PUCCI

Chapitre

Congruences dansZ

Sommaire

I Congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II Critères de divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Feuille d"exercices no3 :Congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

ICongruences

Soitnun entier naturel non nul.

On dit queaetbsont congrus modulonsi, et seulement si,aetbont même reste dans la division euclidienne parn.

On dit aussi queaest égal àbmodulon.

Notation :a≡b(n) oua≡b(modulon) oua≡b[n].

Définition 1

Une conséquence importante de cette définition est que : a≡r[n] avec 0?r < nsi, et seulement sirest le reste de la division euclidienne deaparn.

Exemple 1:

?25 = 11×1 +14donc 25≡14 [11]. ?On a aussi 25 = 11×2 +3donc 25≡3 [11]. ?10≡1 [9]car 10 = 9×1 +1et 1 = 9×0 +1. Soientaetbdeux entiers relatifs etnun entier naturel.aetbont même reste dans la division euclidienne parnsi, et seulement sia-best divisible parn.

Théorème I

Preuve:

Condition nécessaire :Supposons queaetbaient même reste dans la division parn, c"est-à-dire qu"il

existeqetq?tels que :a=nq+retb=nq?=ravecqetq?entiers et 0?r < n. 17

18Chapitre 2:Congruences dansZ

En soustrayant les deux égalités, on obtienta-b=n(q-q?) avecq-q?entier, donca-best divisible parn. Condition suffisante :Supposons quea-bsoit divisible parn. Alors,?k?Ztel quea-b=kn. Soitrle reste de la division euclidienne debparn. On a :b=nq+r, avecqentier et 0?r < n. D"oùa=b+kn=nq+r+kn= (k+q)n+ravec 0?r < n. Le reste de la division deaparn est donc aussiret le résultat.

Ce théorème nous permet alors d"obtenir une caractérisation de la congruence par le corollaire

ci-dessous : aetbsont congrus modulonsi, et seulement sia-best divisible parn. a≡b[n]??n|a-b.

Corollaire 1

A l"aide de ce dernier, on obtient alors aisément toutes les propriétés ci-dessous :

1/aest divisible parn?a≡0 [n].

2/n≡0 [n]

3/a≡a[n] (la relation de congruence est réflexive)

4/Sia≡b[n] et sib≡c[n], alorsa≡c[n] (la relation de congruence est transitive).

5/Sia≡b[n], alorsb≡a[n] (la relation de congruence est symétrique)

6/Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsa+b≡a?+b?[n]. (la relation de congruence est

compatible avec l"addition).

7/Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsa×b≡a?×b?[n]. (la relation de congruence est

compatible avec la multiplication).

8/Sia≡b[n] et sipappartient àN, alorsap≡bp[n].

Proposition 1

Pour plus tard mais il n"est jamais trop tôt pour apprendre, le fait que la relation de congruence

soit réflexive, symétrique et transitive fait de celle-ci une relation d"équivalence. De plus, la

compatibilité avec les deux lois deZpermet de donner à l"ensemble des classes deZune structure d"anneau. Vous verrez ça plus tard. Patience!

Preuve:

1/Évident d"après le corollaire précédent.

2/na pour reste 0 dans la division parn, doncn≡0 [n].

3/n|(a-a) donca≡a[n]

4/Siaetbont même reste dans la division euclidienne parnet sibetcaussi, alorsaetcaussi.

I. CONGRUENCESF.PUCCI

Chapitre 2:Congruences dansZ19

5/Sia≡b[n], alorsn|a-b; on déduit quen|b-a(dansZ) et doncb≡a[n]

6/Sia-b=qneta?-b?=q?n, alorsa+a?-(b+b?) = (q+q?)ndonca+a?-(b+b?) est divisible

parn, d"où le résultat.

7/On a les mêmes hypothèses, donca-b=qneta?-b?=q?net on peut écrire :

ab-a?b?=ab-ab?+ab?-a?b?=a(b-b?) +b?(a-a?) =aq?n+b?qn=n(aq?+b?q).

Il est clair queaq?+b?q?Z(somme et produit d"entiers). Par conséquent :n|(ab-a?b?) doncab≡a?b?[n].

8/Se montre par récurrence surp.

1 Exemple 2 (Une application au CE2 : la preuve par 9):Comment vérifier que l"on ne s"est pas trompé en effectuant une addition, une différence, une multiplication ou une division?

Réponse : Il suffit de refaire les calculs modulo 9 par exemple et de vérifier que les calculs correspondent.

Comme 10≡1 [9], grâce à la proposition précédente, on en déduit que?p?N, 10p≡1 [9].

Considérons un entierm=

anan-1...a1a0=an×10n+an-1×10n-1+...+a1×10+a0×1. Modulo

9, on obtient :

m≡an×1 +an-1×1 +...+a1×1 +a0×1 [9] ≡an+an-1+...+a1+a0[9]??mest égal à la somme de ses chiffres modulon.

Vérifions les opérations suivantes :

Une addition :

7 5 8 0 6

+ 4 5 7 + 3 5 2 3 5

1 1 1 4 9 8Comme

?75806≡8 [9]

457≡7 [9]

35235≡0 [9], l"addition modulo 9

devient : 8 + 7 + 0≡6 Il ne reste plus qu"à vérifier que 111498 est bien égal à 6 modulo 9...C"est bien le cas!

Une multiplication :

6 8 2 5

×4 7

3 2 0 7 7 5De la même manière,

?6825≡3 [9]

47≡2 [9]donne, modulo 9,

×2≡6

Comme 320775≡6 [9], on peut espérer ne pas s"être trompé...modulo 9!

11. Un bon exercice!

F.PUCCII. CONGRUENCES

20Chapitre 2:Congruences dansZ

ExerciceQuel est le reste de 50100par la division par 7? celui de 100100? de 50100+ 100100?

I. CONGRUENCESF.PUCCI

Chapitre 2:Congruences dansZ21

2ExerciceDéterminer l"ensemble des entiersxtels que :x+ 4≡2 [8]

Correction:x+ 4≡2 [8]?x≡ -2 [8]?x≡6 [8] car -2 est congru à 6 modulo 8.

3ExerciceDéterminer l"ensemble desxentiers tels que 5x≡3 [7].

Correction:On remplit un tableau des valeurs prises modulo [7] par 5xlorsquexprend les 7 valeurs des restes possibles modulo 7. x0123456

5x0531642

On en déduit que les solutions sont les nombresxcongrus à 2 modulo 7, c"est-à-dire les éléments de

l"ensembleS={2 + 7k, k?Z}

4Exercice

1/Déterminer le reste de la division par 7 de 2n.

2/En déduire le reste de la division euclidienne de 2134589par 7.

Correction:

1/Par définition, chercher le reste de la division par 7 de 2nrevient à chercher l"ensemble des valeurs

prises par 2 nmodulo 7 2. Pour se donner une idée de la démonstration, on teste sur les premières valeurs den: 2

0= 1 [7]; 21= 2 [7]; 22= 4 [7]; 23= 8≡1 [7]. On remarque que l"on va avoir un cycle modulo

3. ?Sin≡0 [3], alorsn= 3pd"où 2n= 23p= (23)p≡1p[7]≡1 [7]. ?Sin≡1 [7], alorsn= 3p+ 1 d"où 2n= 23p+1= 23p×2≡2 [7]. ?Sin≡2 [7], alorsn= 3p+ 2 d"où 2n= 23p+2= 23p×4≡4 [7].

2/D"après la question précédente, il suffit de calculer le restede la division de 13459 par 3 pour

conclure suivant les cas. Comme 13459 = 4486×3 + 1, on a : 13459≡1 [3].

D"où 2

13458≡2 [7]. Le reste de la division euclidienne de 2134589par 7 est 2.

5ExerciceMontrer que?n?N, 3n+3-44n+2est divisible par 11.

Correction:On a : 3n+3= 3n×33= 27×3n

Or, 27≡5 [11], donc d"après la compatibilité avec la multiplication, on a : ?n?N,3n+3≡5×3n[11].

De la même manière, on a : 4

4n+2=?44?n×42.

2. ou encore de déterminer la classe de 2nmodulo 7.

F.PUCCII. CONGRUENCES

22Chapitre 2:Congruences dansZ

Or, 42≡5 [11]. Donc 44≡52≡3 [11].

Finalement,?n?N, 44n+2≡3n×5 [11].

On en déduit donc :

3 n+3-44n+2≡0 [11]. ?n?N, 3n+3-44n+2est divisible par 11.

IICritères de divisibilité

Un critère de divisibilité parnoùn?N(n?2) est un moyen de savoir " rapidement » si un nombre est divisible parn. nest divisible parksi et seulement sin≡0 [k].

Rappels 1

Un certain nombre de critères de divisibilité ont été vus dans les petites classes, souvent sans

justification.

Donnons-les et justifions-les!

Un nombre est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités est lui-même divisible par 2.

Proposition 2(Divisibilité par 2)

Preuve:Commençons par écriren=a0+ 10a1+...+ 10mam, c"est-à-dire quea0est le chiffre des unités,a1celui des dizaines, ...

Comme 2|10kpour toutk?1,n≡a0[2].

Donc,n≡0 [2] si et seulement sia0≡0 [2]. Un nombre est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffre des unités est lui-même divisible par 5.

Proposition 3(Divisibilité par 5)

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] 2015_cours_ts_final_pucci_specialitepdf (PDF - 8274 ko)

Wallis et Futuna

Cours de

MATHÉMATIQUES

Classe de Terminale S

Enseignement de SpÃ©cialitÃ©

Année 2015

Table des matières

1 Division euclidienne5

2 Congruences dansZ17

3 PGCD et PPCM31

4 Les Grands Théorèmes45

5 Les nombres Premiers57

6 Matrices73

4Chapitre 0:

7 Bac 2015 spécialité101

F.PUCCI

Chapitre

Division euclidienne

Avant-propos

ATTENTION

Théorème I(Admis)

Sommaire

6Chapitre 1:Division euclidienne

5A B C D E

Horizontalement

1/Carré parfait dont le produit des chiffres est 756.

2/Le nombre formé de ses deux premiers chiffres est le même que celui formé de ses deux

3/Multiple de 139.Reste de la division euclidienne de 2001 par 9.

4/Permutation de 23444.

5/Carré parfait.Le produit de ses chiffres est 392.

Verticalement

A/La somme de ses chiffres est 35.

B/Entier divisible par 11.

D/Nombre premier. Cube parfait.

F.PUCCI

Chapitre 1:Division euclidienne7

IDivisibilité dansZ

Rappels 1

Définition 1

On peut écrire 7|56.

Remarques:

1/0 est multiple de tout entier.

2/Tout entier non nulna (au moins) pour diviseurs dansZ1,n,-1 et-n.

3/1 a seulement deux diviseurs dansZ, -1 et lui-même (donc 1 a pour seul diviseur 1 dans

1/Tout diviseur positif d"un naturel non nulnvérifie : 1?d?n.

2/Tout naturel non nul a un nombre fini de diviseurs.

Proposition 1

Preuve:

1/Soitnun naturel non nul. L"entierddivisens"il existe un entierktel quen=kd. Sid >0, alors

Par conséquent :kd?d?n?det 1?d?n.

2/Il est clair qu"un entierna au plusndiviseurs dansNdonc au plus 2ndansZ. Un entiernadmet

Remarque:0 a une infinité de diviseurs.

F.PUCCII. DIVISIBILITÉ DANSZ

8Chapitre 1:Division euclidienne

Exemple 2:

Définition 2

Définition 3

Exemple 4:

D(15) ={-15;-5;-3;-1; 1; 3; 5; 15}

D(14) ={-14;-7;-2;-1; 1; 2; 7; 14}?

1/1 diviseapour tout entier relatifa.

2/adiviseapour tout entier relatifa.

3/Siadivisebet sibdivisec, alors,adivisec: on dit que la relation de divisibilité

4/Siadivisebet simest un entier, alorsadivisemb.

5/Siadivisebet siadivisec, alorsadiviseb+cet plus généralement,adivise

Proposition 2

1.mb+ncest une combinaison linéaire debetc.

I. DIVISIBILITÉ DANSZF.PUCCI

Chapitre 1:Division euclidienne9

Preuve:

1/a=a×1, donc 1 divisea.

2/a=a×1, doncadivisea.

3/Siadiviseb, alors il existekentier tel queb=ka.

Sibdivisec, alors il existek?entier tel quec=k?b.

4/Démonstration analogue.

1ExerciceDéterminer les entiersntels que 7 divisen+ 3.

L"ensemble des solutions est :S={7k-3,k?Z}

2ExerciceDéterminer les entiersntels que 2n-5 divise 6.

On obtient :S={-15;-3;-1; 11}.