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MAT2.1

Rappel Mathématique Microéconomie 3-851-84

I. Fonctions à une seule variable

· QUELQUES RÈGLES DE DÉRIVATION (rappel)

1. Multiplication de deux fonctions

x du d v + x dv du = ) v u ( x dd

Exemple: x = u2

1+ x 2 = v

] x 2 x [ x dd

2 )1(+· = x 2 x 2 + 2 x2 ·+·)1(

= xx 6 = x x 4 + x 22 2 2 22++

2. Division de deux fonctions

. vdxdv u - dxdu v = vu dxd

2 ··

÷øöçèae

Exemple: x = u2

1+ x 2 = v

÷øöççèae

+ x 2x dxd2 1 + x 2 () 2 ( x - x 2 ) + x 2 ( 2 2

11·

MAT2.2

) + x 2 ( x 2 + x 2 = ) + x 2 (x

2 - x 2 + x 4

2 2 2 2 2 11

3. Règle de chaîne

] ) u ( f [ dxd = dxdu ] )u ( f [ u dd

Exemple: u = )u ( f , + x 2 =u 2 1

] ) + x 2 ( [ x dd

2 1 = ) + x 2 ( 4 = 2 ) + x 2 ( 211·

· OPTIMISATION (sans contrainte)

Soit )(xfla fonction que l'on cherche à optimiser.

Condition de premier ordre (CPO) : 0)]([*=xfdxd

(condition nécessaire)

Condition de second ordre (CSO) : 0)]([*

22
>xfdxd pour un minimum. · FONCTIONS CONCAVES, QUASI CONCAVES, CONVEXES, QUASI CONVEXES

Les théories du consommateur et du producteur que nous allons étudier font référence à des fonctions

d'utilité et de production sur lesquelles certaines hypothèses sont faites. Ces hypothèses reposent, entre autres,

MAT2.3

sur les notions de concavité et de convexité des fonctions.

Définition:

Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x1, x2 de son domaine et pour tout , 1 < < 0 , ll . ) x ( f ) - 1 ( + ) x ( f ) x ) - 1 ( + x ( f2 1 2 1 llll£ (Une fonction est strictement convexe si la dernière inégalité est stricte, à savoir, ) x ( f ) - 1 ( + ) x ( f < ) x ) - 1 ( + x ( f2121llllet ) x x 21¹.

Similairement, une fonction concave est définie de la même manière mais le sens de l'inégalité est

renversé.

Exemples:

x 1 lx

1 + (1 - l)x

2 x2 f(x

1) f(x

2) f(x) x x

1 lx1 + (1 - l)x2 x2 x f(x

1) f(x

2) f(x) lf(x1)+(1-l)f(x2) f(lx

1+(1-l)x

2) f(lx1+(1-l)x2) lf(x

1)+(1-l)f(x

2) Fonction convexe Fonction concave

MAT2.4

Définition:

Une fonction f(x) est quasi convexe si, pour tous points x1 , x2 de son domaine, on a 0Similairement f(x) est quasi concave si ou, de manière équivalente: }{)(),(min))1((2121xfxfxxf³-+ll

MAT2.5

Exemples:

· DIFFÉRENTIELLE TOTALE

Soit . ) x ( f =y

Alors dx ) x ( ' f =dy est la différentielle totale et on a y dy D¹ , i.e. dy est une approximation de . ) x ( f - )x + x ( f =y DD

1 lx1 + (1 - l)x2 x

2 f(x

1) f(lx1 + (1 - l)x2) f(x

2) f(x) x x

1 lx1 + (1 - l)x2 x

2 x f(lx

1 + (1 - l)x

2) f(x

1) f(x

2) f(x)

Fonction Quasi Concave Fonction pas Quasi Concave

MAT2.6

Graphiquement:

dy = dx ) x ( ' f = pente de la tangente en x · dx = AB = CB CBAB

· AB = .y dy D»

II. Fonctions à deux ou plusieurs variables

· DÉRIVÉES PARTIELLES

Les fonctions avec lesquelles nous allons travailler sont, en général, continues, dérivables et

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