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EXERCICES CORRIGÉS
COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty
L3M1Optimisation
et analyse convexeOptimisation et analyse convexeOPTIMISATION
ETANALYSE CONVEXE
Exercices et problèmes corrigés,
avec rappels de coursJean-Baptiste Hiriart-Urruty
Collection dirigée par Daniel Guin
17, avenue du Hoggar
Parc d"activités de Courtabuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France
Illustration de couverture: un corps convexe d"épaisseur presque constante et son ombre; reproduit avec la gracieuse permission de Christof Weber (université deZurich).
Imprimé en France
ISBN: 978-2-7598-0373-6
Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous
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3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
c ?2009, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabuf,91944 Les Ulis Cedex A
TABLE DES MATIÈRES
Introductionv
Abréviations et notationsix
I Révision de bases : calcul diérentiel, algèbre linéaire et bilinéaire 1 I.1Algèbre linéaire et bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2Calculdiérentiel ......................... 2I.3Fonctionsconvexes ........................ 3
II Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité41 II.1Conditionsdeminimalitédupremierordre........... 41 II.2Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 42 III Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité63 III.1Conditionsdeminimalitédupremierordre........... 63 III.2Cône tangent, cône normal à un ensemble . . . . . . . . . . . . 65 III.3Priseencomptedelaconvexité ................. 66 III.4Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 66IV Mini-maximisation. Dualisation de problèmes
de minimisation convexe 127IV.1Points-selles (ou cols); problèmes de mini-maximisation . . . . 127 IV.3Premiers pas dans la théorie de la dualité . . . . . . . . . . . . 129
Optimisation et analyse convexe
V Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines (Programmation linéaire) 165V.1Polyèdresconvexesfermés ....................165 V.2Optimisation à données anes (Programmation linéaire) . . . 168 V.2.1Dénitionsetnotations .................168 V.2.2Résultatsfondamentauxdexistence ..........170 V.3Ladualitéenprogrammationlinéaire ..............171 V.3.1Formulations de problèmes duaux . . . . . . . . . . . . 171
V.3.2Relations entre les valeurs optimales et les solutionsde programmes linéaires en dualité . . . . . . . . . . . 172
V.3.3Caractérisation simultanée des solutions du problème primal et du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 173 VI Ensembles et fonctions convexes. Projection sur un convexe fermé 217VI.1.1Ensembles convexes associés à un convexe donné . . . 217 VI.1.2Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée . . . . . 218 VI.1.3Hyperplan dappui, fonction dappui . . . . . . . . . . 219 VI.1.4Théorèmes de séparation par un hyperplan ane . . . 219
VI.3Fonctionsconvexes ........................220
VII Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel 271VII.1La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . 271 VII.1.1Dénitions ........................271 VII.1.2Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 272 VII.2Lesous-diérentieldunefonction ................273 VII.2.1Dénitions ........................273 VII.2.2Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 274