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Exercices Corriges
Corps des nombres complexes
Exercice 1{
1) Qu'est ce que le conjugue d'un nombre complexe ?
2) Determiner les nombres complexeszveriant : (1 +i)z1 +i= 0.
3) Preciser le complexe :
z=1i2 +i+12i1 +i:Exercice 2{
1) Determiner les nombres complexestels que :2= 2 + 2p2i.
2) Puis, determiner les nombres complexesztels que :z2+p2zp2
2 i= 0.Exercice 3{
1) Determiner les nombres complexestels que :2= 24i.
2) Puis, determiner les nombres complexesztels que :z2+p2z+i= 0.
Exercice 4{Caracteriser la similitude directe :
C!C; z7!f(z) = (1p3i)z+ 2p3 + (2 +
p3)i : Exercice 5{Caracteriser la similitude directe :C!C; z7!f(z) = (33i)z+ 2.Exercice 6{(Extrait de l'examen d'octobre 2010)
1) Determiner les nombres complexestels que :2=2i+ 6.
2) Puis, determiner les nombres complexesztels que :z2+ (1i)z32
= 0.3) En deduire une factorisation dez2+ (1i)z32
Exercice 7{(Extrait de l'examen d'octobre 2010)
On considere la similitude :
f:C!C:z7!f(z) =(p3i)z+i :1) Determiner les points xes def.
2) Caracteriser la similitudef(c.a.d. preciser sa decomposition en composee d'une rotation et
d'une homothetie de m^eme centre).Correction de l'exercice 1 :
1) Siaetbsont des reels, le conjugue du complexea+ibestaib. On prendra garde que si
1 aetbsont des complexes le conjugue dea+ibestaib.2) L'equation equivaut a : (1 +i)z= 1i. Il en resulte :
z=1i1 +i=(1i)22 =12i12 =2i2 =i3) On trouve :
z=(1i)(2i)5 +(12i)(1i)2 =13i5 +13i2 =26i515i10 =321i10Correction de l'exercice 2 :
1) Comme 2 + 2p2i6= 0, nous savons que l'equation2= 2 + 2p2iadmet deux solutions.
Cherchonssous la forme=x+iyavecx;yreels. Comme2= (x2y2) + 2xyi, l'equation2= 2 + 2p2iequivaut a :
x2y2= 2 et 2xy= 2p2:
D'autre part, on obtient l'egalite entre modulesjj2=j2 + 2p2ij. Il en resulte : x2+y2=p4 + 8 =
p12 = 2 p3:Ainsi, (x;y) est solution de :
x2y2= 2; x2+y2= 2p3 etxy >0:
D'ou x2=2 + 2p3
2 = 1 +p3; y2=2p312 =p31+; xy >0: D'ou x= +q 1 + p3; y= +qp31; xy >0:D'ou, puisquexetysont de m^eme signe :
=q1 + p3 +iqp31 ou=q1 + p3iqp31:Comme 2 + 2
p2i6= 0, nous savons que l'equation2= 2 + 2p2iadmet deux solutions. Les deux valeurs ci-dessus sont donc les deux solutions cherchees.2) Considerons l'equation du deuxieme degre a coecients complexes :
z2+p2zp2
2 i= 0:Les racines de cette equation sont :
u1=p2 +2
; u2=p22 2 ouest une solution de2= (p2) 24(p22 i) = 2+2p2i. D'apres la question precedente, on obtient : u