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SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice n° Les nombres suivants sont ils en progression arithmétique ?
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MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier
2013-2014Grenoble
TD n o1 : suites num´eriques Rappel important :il existe un cours de L1 en ligne, intitul´e "M@ths en L1gne",`a l"adresse :http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/Plusieurs des exercicesci-dessous en sont d"ailleurs tir´es. Il est crucial, pour toute la partie du cours sur les s´eries
num´eriques, d"ˆetre `a l"aise avec les suites num´eriques, les notions de limite et de continuit´e
et les d´eveloppements limit´es. V´erifiez donc cette aisance `a l"aide des QCM, exercices, cours
et compl´ements du site.Exercice 1 : Quelques exemples
Donner des exemples des situations suivantes :
1. Une suite d´ecroissante positive ne tendant pas vers 0.
2. Une suite born´ee non convergente.
3. Une suite positive non born´ee ne tendant pas vers +.
4. Une suite non monotone qui tend vers 0.
5. Deux suites divergentes ()et ()telles que ()soit convergente.
Exercice 2 : Des suites d´efinies par r´ecurrence Soitune fonction continue de [01] dans [01] telle que(0) = 0,(1) = 1 et ]01[ ()1. On d´efinit par r´ecurrence une suite ()≥0:
?0[01]0 +1=()
Montrer que la suite ()≥0converge et donner sa limite.2. On d´efinit par r´ecurrence une suite ()≥0:
?0= 12 0 +1= 2 Montrer que la suite ()≥0converge et donner sa limite.Exercice 3 : Applications contractantesSoitun intervalle ferm´e deR,une application dedans lui-mˆeme etun nombre r´eel
de [01[. On suppose quev´erifie : Montrer que la suite ()d´efinie par0et+1=() converge, et que sa limite est l"unique point fixe de. On pourra commencer par montrer que ()est une suite deCauchy.
Exercice 4 : Limite d"un produit
Rappeler la d´emonstration du r´esultat suivant. Soient()et()des suites de nombres complexes. Si()et()convergent, alors ()converge etlim= (lim)(lim). Exercice 5 : Calcul de limites `a l"aide des fonctions usuelles Calculer la limite, si elle existe, des suites suivantes.1.=+ 1
3 + 2 2.=10 1013.=1 + 1 4.=4? log? 11 2? +12? 5.=!
6.= tan(1)cos(2+ 1)
7.=(+ 1)2
(+ 1)33 8.=3 +log(2)
log9.=log(2+ 32)
log(13)10.=(2
n1)Exercice 6 : D´eveloppements limit´es
Donner un d´eveloppement limit´e pour ()(lorsquetend vers l"infini) avec un reste en (12), dans chacun des cas suivants :1.=+ 1
3 + 22.=log?11
+12??113.=11
⎷+ 2 4.=? 1 +1 +2Exercice 7 : Borne sup´erieure, borne inf´erieurePour chacun des ensembles suivants, d´eterminer s"il est major´e, s"il est minor´e, s"il a
un maximum, s"il a un minimum, et le cas ´ech´eant d´eterminer ses bornes sup´erieures et inf´erieures.1.=(1)N
2.=(1)N?
3.=(1)N?4.=?+1
+2N? 5.=?1 1N??Exercice 8 : Suites extraites
Soit ()une suite complexe.
1. Montrer que si les suites extraites (2)et (2+1)convergent vers la mˆeme limite,
alors ()converge.2. Montrer que si les suites extraites (2), (2+1)et (3)convergent, alors ()
converge aussi.Exercice 9 : Une somme t´el´escopique
1. D´eterminer trois r´eelstels que pour toutRdiff´erent de 0, 1 et1 on
ait :1 (21)=1+++ 12. En utilisant cette relation pour= 23, d´eterminer pour chaque entier2
une expression simple de =21 (21)=12(221)+13(321)++1(21)3. En d´eduire que la suite ()converge et d´eterminer sa limite.
Exercice 10 : Suites adjacentes
1. Pour chacun des couples suivants, montrer que les suites ()et ()sont adja-
centes. (a)=? =112et=+1.
(b)=? =113et=+12. (c)0= 0,0= ,+1=+2et+1=.
2. On d´efinit `a pr´esent les suites ()et ()par=?
=11 !et=+1!. (a) Montrer que ces suites sont adjacentes. Leur limite commune est not´ee(c"est exp(1) =1). (b) Montrer quen"est pas rationnel (on pourra raisonner par l"absurde : en sup- posant que=, on peut noter que, pour toutN, on a! ! !; choisirtel que!soit entier permet alors de conclure).Exercice 11 : Moyennes de C´esaro
Soit ()≥1une suite de nombres complexes. On note : 1 =1 (1++)1. Montrer que si ()converge dansC, alors ()converge vers la mˆeme limite.
2. Exhiber une suite ()divergente telle que ()converge.
3. Soit ()une suite de nombre r´eels strictement positifs telle que+1
converge.Montrer que (1)converge vers la mˆeme limite.
Exercice 12 : Limite sup´erieure et limite inf´erieure Soit ()≥0une suite born´ee de nombres r´eels. On d´efinit les suitesetpar :N = inft.q.et= supt.q.
1. Montrer que ()et ()convergent. La limite deest appel´eelimite inf´erieure
de la suite()et est not´ee liminf. Celle deest appel´eelimite sup´erieure de la suite()et est not´ee limsup.2. Montrer qu"il existe une sous-suite de ()convergeant vers liminfet une autre
convergeant vers limsup . Cela donne donc une autre d´emonstration du th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.3. Montrer que ()converge si et seulement si ()et ()convergent dansRvers
la mˆeme limite. MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier2013-2014Grenoble
TD n o2 : S´eries `a termes positifsExercice 13 : Nature de s´eries
D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : 1.= 5+ 1;2.=2+2
32+ 1;
3.=1 n + 1; 4.=1 n1+ 1;5.=ln?
1 +1 (1); 6.=-4 + sin;
7.=1ln(1 +1
)+ 1;8.=ln 9.=? 1 +1 (1);10.=-;
11.=-⎷
12.=? 11 (2); 13.=! (1);14.=ln
(1) (discuter selon la va- leur du r´eel);15.= tan?1
1;16.=2?
1 nsin1cos1? ln(11)? 2?Exercice 14 : Transformation I
Soit ()une suite de nombres positifs telle que?converge.Montrer que la s´erie?
+ 1converge. Exercice 15 : S´erie `a terme g´en´eral d´efini par une r´ecurrenceSoit ()la suite d´efinie par0= 1 et+1=sin
+ 1. Montrer que pour toutNon a[01], puis montrer que la s´erie?converge. Exercice 16 : S´eries `a terme g´en´eral positif d´ecroissant Soit ()une suite positive d´ecroissante telle que?converge. Montrer que pour tout0 il existeNtel que pour tout on ait ()?. En d´eduire que
tend vers 0 quandtend vers +. Donner un exemple de suite positive ()telle que?converge etne tend pas vers 0.Exercice 17 : Transformation II
Soit ()une suite `a termes positifs, et notons=1
1 +2.1. Montrer par des exemples que la divergence de
?ne permet pas de d´eterminer la nature de?. On suppose dans la suite que?converge et on va montrer que?diverge.2. Traiter le cas o`u2ne tend pas vers +.
3. Traiter le cas o`u2+en appliquant l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a?
=0 1212.Exercice 18 : Transformation III - d´eriv´ee logarithmique Soit ()une suite r´eelle positive. Pour toutN?on note=-1? =0