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Exercices

de statistique et probabilités 3 e

édition

Maurice LETHIELLEUX

Ancien1ma"tre1de1confŽrence1

CŽline CHEVALIER

Ma"tre1de1confŽrence1

9782100760473-lim.qxd 27/01/17 8:41 Page I

© Dunod, 2017

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

ISBN 978-2-10-076047-3

9782100760473-lim.qxd 27/01/17 8:41 Page II

© Dunod Ð Toute reproduction non autorisŽe est un dŽlit. GŽnŽralitŽs et reprŽsentations graphiques CaractŽristiques de tendance centrale et de dispersion.

Concentration9

Indices de prix Ð Indices en volume Ð

Indices en valeur26

SŽries statistiques ˆ deux variables :

ajustement par les moindres carrŽs34

Les sŽries chronologiques47

Principes du calcul des probabilitŽs57

Variables alŽatoires continues et lois de probabilitŽs continues usuelles83 Convergences et approximation par la loi de Poisson ou la loi normale99

Estimation ponctuelle121

Estimation par intervalles de confiance136

Normale, Student, Chi-deux...148

Niveau de difficultŽ des exercices156

Sommaire

Carrctéi

9782100760473-tdm.qxd 25/01/17 12:00 Page III

9782100760473-tdm.qxd 25/01/17 12:00 Page IV

© Dunod Ð Toute reproduction non autorisŽe est un dŽlit. Caractéisaqus cuecaqurstsidrqnctelipouq .uq qaciuqI or RtctRsFcu

H Eteeuéq .u Rdocq

¥Population: en statistique descriptive, cÕest un ensemble dÕindividus. Chaque individu est dŽcrit selon une ou plusieurs caractŽristiques dŽsignŽes par variable ou caractère.

¥Unité statistique: cÕest une autre faon de dŽsigner un individu.¥Modalités: ce sont les diffŽrentes caractŽristiques dÕune variable. Chaque indivi-

du prŽsente une et une seule modalitŽ ˆ la fois (exhaustivitŽ et disjonctivitŽ). ¥Variable quantitative: les modalitŽs sont mesurables ou repŽrables. Lorsque ces modalitŽs sont des nombres isolŽs, cette variable est quantitative discrète; sinon

cette variable est quantitative continue.¥Variable qualitative: les diffŽrentes modalitŽs ne sont pas mesurables ou repŽ-

rables. ¥Variable qualitative ordinale: on peut Žtablir une hiŽrarchie entre les modalitŽs. ¥Sondage: lÕinformation est recueillie sur une partie de la population qui constitue un échantillon. Série statistique: suite de donnŽes (ou de variables) recueillies concernant des individus.

Sur une population ou un Žchantillon de

nindividus, chaque individu prŽsente lÕune des pmodalitŽs de la variable. Ces modalitŽs sont notŽes M1 ,M 2 ,...,M i ,...,M p n 1,n 2 ,...,n i ,...,n p sont les effectifs ou frŽquences absolues des diffŽrentes modalitŽs. f i n i n, f 1 ,f 2 ,...,f i,...f p , sont les frŽquences relatives des diverses modalitŽs. Les frŽquences peuvent tre exprimŽes en pourcentage. FICHE 1- Généralités et représentations graphiques...

2HvLMm

9782100760473-F01.qxd 16/01/17 11:03 Page 1

Pour une variable quantitative continue, les donnŽes sont regroupŽes en classes.

¥L'amplitude,ou longueur de la classe, est la diffŽrence entre lÕextrŽmitŽ et lÕori-

gine de la classe. ¥Fonction de répartition(variable quantitative) : F ,x.est la frŽquence relative (ou les effectifs) des individus dont la valeur de la variable est infŽrieure ou Žgale ˆ x. G,x.1F,x.est la frŽquence relative (ou les effectifs) des individus dont la valeur de la variable est supŽrieure ˆ x. ¥La courbe des fréquences cumulées croissantesest le graphe de la fonction F. ¥La courbe des fréquences cumulées décroissantesest le graphe de la fonction G. ¥Diagramme en bâtons: cÕest la reprŽsentation graphique de la distribution dÕune ¥Histogramme: cÕest la reprŽsentation graphique sous forme de rectangles de la en classes.

HH M,ucRiRuq

my Euecaqurstsidrq nctelipouq .xoru 1tcit3éu potéistsi1u Le tableau suivant donne la rŽpartition des 500 salariŽs dÕune entreprise selon le mode de transport utilisŽ pour se rendre du domicile au lieu de travail. Si un salariŽ utilise plusieurs modes de transport, celui retenu dans la classification est celui de la distance parcourue la plus longue.

Exercices de statistique et probabilités

Modalités Effectifs n

i

Fréquences f

i

Fréquences en %

M 1 n 1 f 1 f 1 100
M 2 n 2 f 2 f 2 100
M 1 n i f i f i 100
M p n p f p f p 100

Totaln1100

La distribution statistique dÕune variable selon ses modalitŽs est prŽsentŽe dans un tableau.

9782100760473-F01.qxd 16/01/17 11:03 Page 2

FICHE 1- Généralités et représentations graphiques... © Dunod Ð Toute reproduction non autorisŽe est un dŽlit. 1

1.Les modalitŽs dÕune variable sont disjonctives et exhaustives, expliquez ce que

cela signifie.

2.Indiquer les difficultŽs ˆ rŽaliser une classification pertinente pour les modalitŽs de

la variable utilisŽe dans cet exercice.

3.Indiquer comment on obtient les 4

e et 5 e colonnes ˆ partir de la 3 e colonne.

4.Indiquer le principe essentiel pour faire un diagramme ou une reprŽsentation gra-

phique dÕune distribution statistique dÕune variable qualitative. ReprŽsenter les donnŽes du tableau ˆ lÕaide dÕun diagramme circulaire.

5.Indiquer dÕautres modes de reprŽsentations graphiques pour des variables qualita-

tives.

Solution

myDisjonctives signifie que les modalitŽs ne se recouvrent pas afin quÕun mme indi- vidu ne puisse pas tre classŽ dans plusieurs modalitŽs. Exhaustives signifie que chaque individu peut tre classŽ selon les modalitŽs exis- tantes. En rŽsumŽ, chaque individu est classŽ selon une et une seule modalitŽ de la variable, ce qui explique que le total des individus rŽpertoriŽs dans les diverses modalitŽs fasse 500.

4yCet exercice montre quÕil est difficile avec les donnŽes prŽcŽdentes de trouver une

classification pertinente. En effet, les individus qui vont ˆ pied ˆ leur travail ou en deux roues motorisŽes ne sont pas pris en compte dans cette classification. De plus, la clas- sification qui sÕappuie sur la distance parcourue la plus longue par les salariŽs utilisant plusieurs modes de transport, nÕest pas forcement la plus pertinente. Ceci nÕest quÕun exercice, mais avant de recueillir des donnŽes, il faut penser ˆ la faon de les traiter. byf 1 n 1 n605000(12f 2 120

5000(24É

èyLe principe de base dÕun diagramme reprŽsentant des donnŽes qualitatives est que les diffŽrentes aires du diagramme sont proportionnelles aux effectifs ou frŽquences.

Ainsi la modalitŽ

V(voiture) doit reprŽsenter 12 % de lÕaire totale,R24 %, etc. Le dia- gramme le plus usuel est le diagramme circulaire, souvent dŽsignŽ par Ç camembert È. Mode de transport Symbole Effectifs Fréquences Fréquences en %

Voiture V 60 0,12 12

RER R 120 0,24 24

Métro M 160 0,32 32

Autobus A 80 0,16 16

Bicyclette B 80 0,16 16

Total 500 1 100

9782100760473-F01.qxd 16/01/17 11:03 Page 3

Exercices de statistique et probabilités

Les aires des secteurs Žtant proportionnelles aux angles quÕils forment, les angles des secteurs reprŽsentant les diffŽrentes modalitŽs sont aussi proportionnels aux effectifs. RER 24%

Métro

32%Autobus

16%Voiture

12%Bicyclette

16%

Diagramme à barres

Voiture 12 %

RER 24 %

Métro 32 %

Autobus 16 %

Bicyclette 16 %

VyUn autre type de graphique est le diagramme en barres ou en bandeaux ; chaque ban-

deau a une hauteur proportionnelle ˆ lÕeffectif de la modalitŽ quÕil reprŽsente. Les outils

informatiques permettent de rŽaliser une grande variŽtŽ de reprŽsentations graphiques.

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4y Euecaqurstsidr nctelipou .xoru 1tcit3éu

potrsistsi1u .iqRcFsu Le tableau suivant donne la distribution de 200 familles selon le nombre dÕenfants. FICHE 1- Généralités et représentations graphiques... © Dunod Ð Toute reproduction non autorisŽe est un dŽlit. 1 Nombre d'enfants Effectifs Fréquences Fréquences Fréquences cumulées relatives relatives en % croissantes en %

0 30 0,15 15 15

1 40 0,20 20 35

2 60 0,30 30 65

3 30 0,15 15 80

4 16 0,08 8 88

5 10 0,05 5 93

6 6 0,03 3 96

7 4 0,02 2 98

8 4 0,02 2 100

Total 200

1.Faire le diagramme en b‰tons de cette distribution.

3. Indiquer les propriŽtŽs de la fonction de rŽpartition F.

4. DŽterminer la fonction de rŽpartition de cette distribution.

5. Tracer la courbe des frŽquences cumulŽes croissantes, cÕest-ˆ-dire le graphe de F.

Solution

myOn porte en abscisse les diffŽrentes modalitŽs de la variable et en ordonnŽe les effectifs ou les frŽquences relatives. Comme lՎnoncŽ ne le prŽcise pas, on choisit dans ce cas les frŽquences relatives en pourcentage, cÕest souvent la faon la plus lisible de prŽsenter des donnŽes.

Fréquences relatives en %

05101520253035

012345678

Nombre d'enfants par famille

9782100760473-F01.qxd 16/01/17 11:03 Page 5

tiennent par sommation des lignes de la colonne prŽcŽdente du haut vers le bas en sÕar- rtant ˆ la ligne correspondant ˆ un nombre donnŽ dÕenfants. Ainsi 35 % des familles ont 0 ou 1 enfant ; 65 % des familles ont, au plus, deux enfants. byF,x.est la frŽquence des individus dont la variable est infŽrieure ou Žgale ˆ x. Il en rŽsulte : 0

F,x. 1.

F est croissante au sens large :b)aimplique F,b.=F,a.. tion en escalier. Si :

0 xσ1F,x.0(15

1 xσ2F,x.0(35

2 xσ3F,x.0(65

3 xσ4F,x.0(80

4 xσ5F,x.0(88

5 xσ6F,x.0(93

6 xσ7F,x.0(96

7 xσ8F,x.0(98

x=8F,x.1 VyCourbe des frŽquences cumulŽes ascendantes.

Exercices de statistique et probabilités

012345678910

x y 01,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

9782100760473-F01.qxd 16/01/17 11:03 Page 6

by Euecaqurstsidr nctelipou .xoru 1tcit3éu Rdrsirou tribution des salaires nets mensuels en euros. FICHE 1- Généralités et représentations graphiques... © Dunod Ð Toute reproduction non autorisŽe est un dŽlit. 1

1. ComplŽter le tableau prŽcŽdent.

2. Indiquer comment on construit un histogramme et tracer lÕhistogramme de cette

distribution.

3. Tracer la courbe des frŽquences cumulŽes croissantes (en %) et la courbe des frŽ-

quences cumulŽes dŽcroissantes (en %).

Solution

myUt3éuto Rdgeéasa

Salaire mensuel Effectifs n

i Fréquences Effectifs cumulésFréquences Fréquences Fréquences (milliers d'euros) relatives f i croissants cumulées cumulées cumulées dé- croissantes croissantes en % croissantes en % [1,2 à 1,6[ 100 0,20 100 0,20 20 100 [1,6 à 2,0[ 150 0,30 250 0,50 50 80 [2,0 à 2,8[ 100 0,20 350 0,70 70 50 [2,8 à 3,6[ 80 0,16 430 0,86 86 30 [3,6 à 4,4[ 50 0,10 480 0,96 96 14 [4,4 à 6,0[ 20 0,04 500 1,00 100 4

Total 500 1

4yvdrqscoRsidr .u éxliqsdnctggu

En ordonnŽe, on porte les frŽquences par classe dÕamplitude 400 euros ce qui corres- une amplitude de 800 euros et une frŽquence de 20 %. Ceci revient ˆ rŽpartir 10 % des effectifs dans une classe fictive dÕamplitude 400 euros qui sՎtend de 2 000 ˆ

Salaire mensuel Effectifs n

i Fréquences Effectifs cumulésFréquences Fréquences Fréquences (milliers d'euros) relatives f i croissants cumulées cumulées cumulées dé- croissantes croissantes en % croissantes en % [1,2 à 1,6[ 100 0,20 [1,6 à 2,0[ 150 0,30 [2,0 à 2,8[ 100 0,20 [2,8 à 3,6[ 80 0,16 [3,6 à 4,4[ 50 0,10 [4,4 à 6,0[ 20 0,04

Total 500

9782100760473-F01.qxd 16/01/17 11:03 Page 7

2 400 euros et 10 % dans une classe qui sՎtend de 2 400 euros ˆ 2 800 euros. On porte

donc pour la classe qui sՎtend de 2 000 ˆ 2 800 euros une hauteur de 10 %. On rai- sonne de cette faon pour terminer lÕhistogramme.

Liqsdnctggu .uq 5capourRuq

Exercices de statistique et probabilités

0%5%10%15%20%25%30%35%

milliers d'euros 1,6

2,0 2,81,23,64,46,0

by vdoc3uq .uq 5capourRuq Rogoéauq Pour repŽrer les points qui figurent sur la courbe des frŽquences cumulŽes croissantes, on prend en abscisse lÕextrŽmitŽ des classes. Pour repŽrer les points qui figurent sur la courbe des frŽquences cumulŽes dŽcrois- santes, on prend en abscisse lÕorigine des classes. vdoc3uq .uq 5capourRuq Rogoéauq

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

1234567

fréquences cumulées croissantes fréquences cumulées décroissantes

9782100760473-F01.qxd 16/01/17 11:03 Page 8

© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit. Caractéristiques detendance centrale et de dispersion.Concentration

I Rappel de cours

• Une série statistiquex 1 ,x 2 ,...,x n est une suite d'observations d'une variable X.

Dans le cas où les observations

xi sont observées avec les effectifs n i ou avec les fréquences f i on présente les données sous forme de tableau.

9FICHE 2- Caractéristiques de tendance centrale et de dispersion

FICHE

2Variable x

1 x i x p Total

Effectifn

1 n i n p n

Fréquencef

1 f i f p

1 ou 100 %Caractéristiques de valeur centrale et de position

• La moyenne arithmétique : x=1 n i=n i=1 x i ou x=1 n i=p i=1 n i x i ou x= i=p i=1 f i x i ou x=1100 i=p i=1 f i x i

Lorsque chaque modalité x

i de la variable Xest observée une seule fois, c'est la première formule qui s'applique sinon c'est la deuxième. La troisième correspond

à des fréquences relatives exprimées entre 0 et 1 ; la dernière à des fréquences rela-

tives exprimées en pourcentage. • La médianese détermine de telle façon qu'il y ait autant d'observations supé- rieures à la médiane que d'observations inférieures à la médiane. • Le modecorrespond à la valeur de la variable observée avec la plus grande fré-

quence ou le plus grand effectif. Sa détermination est un peu plus délicate pour une9782100760473-F02.qxd 16/01/17 11:22 Page 9

variable continue (on définit plutôt une classe modale). Il existe des distributions

à plusieurs modes.

• La moyenne géométrique : m g m g =(x 1 x 2 ...x n 1 n i=n i=1 x 1 ni ou m g =(xquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25