Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES Enoncé des exercices

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Chapitre 2

NOMBRES COMPLEXES

Enoncé des exercices

1 Les basiques

Exercice 2.1Donner la forme polaire de :1 +i,1-i, i-1,⎷3 +i

En déduire

(i-1) 5 (i+ 1)4,(1 +i)44,?-4⎷3 +i? 19

Exercice 2.2Calculer(1 +i)25et?

1 +i⎷3

1-i? 20

Exercice 2.3Soitz1= 1 +i,z2=⎷3 +ietz3=z1

z2,Déterminer les parties réelles et imaginaire dez3,déterminer les modules et arguments dez

1etz2, en déduire la forme polaire dez3. Justifier alors quecos?π12?

3 + 1

2⎷2et

sin 12? 3-1

2⎷2.En déduiretanπ12.

Exercice 2.4Soienta,betcdansC, montrer que

|1 +a|+|a+b|+|b| ≥1 Exercice 2.5Soitzun complexe de module1,calculer|1 +z|2+|1-z|2.

Exercice 2.6Un entiernest dit somme de deux carrés s"il existe deux entiersaetbtels quen=a2+b2. Montrer

que sinetpsont sommes de deux carrés alors leur produitn×pl"est aussi.

Par exemple on a5 = 2

2+ 12,401 = 202+ 12, quelle est la décomposition en somme de deux carrés de2005?

Exercice 2.7Résoudrez4=16⎷2

1-i(on demande uniquement la forme polaire des solutions )

Exercice 2.8Montrer que(|z|= 1etz?= 1)?i?z+ 1z-1?

?R Exercice 2.9Soientaetbdeux nombres complexes de module1tels queab?=-1, montrer quea+b1 +ab?R.

1. LES BASIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

Exercice 2.10Soientaetbdeux complexes tels queab?= 1, on pose alorsz=a-b1-ab. Montrer que |z|= 1? |a|= 1ou|b|= 1 Exercice 2.11Soientaetbdeux complexes non nuls. Montrer que? ?a |a|2-b|b|2 ?=|a-b||a||b| Exercice 2.12Soienta,betctrois complexes de module1, montrer que|ab+bc+ca|=|a+b+c| Exercice 2.13Soituun nombre complexe de module1,montrer queRe?11-u? =12.

Exercice 2.14Résoudre l"équationz3=z.

Exercice 2.15Soit(zn)n?Nune suite géométrique de raisonaoùaest un imaginaire pur non nul. Montrer que si

M na pour affixeznalors le triangle(MnMn+1Mn+2)est rectangle enMn+1. Exercice 2.16Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels que les pointsM(z), N(z2)etP?1z? soient alignés.

Exercice 2.17Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels que les pointsM, AetNsoient alignés, oùAa pour

affixe1etNa pour affixe1 +z 2. Exercice 2.18Résoudre, pourn?N,n≥2, l"équation(z-i)n= 1. Exercice 2.19Résoudre l"équation(z-1)n= (z+ 1)noùn?N?. Exercice 2.20Déterminer les solutions dez4-(3 + 8i)z2-16 + 12i= 0 Exercice 2.21Résoudre?z2+ 3z-2?2+?2z2-3z+ 2?2= 0.

Exercice 2.22Résoudre l"équationz3+z2+ (-1 + 3i)z+ 44 + 12i= 0sachant qu"elle admet une racine réelle.

Exercice 2.23On considère l"équation

3-(1 + 2i)z2+ 3(1 +i)z-10(1 +i) = 0(E)

1. Résoudre(E)sachant qu"elle admet une racine imaginaire pure.

2. On notea,betcles trois racines etA,B,Cles points d"affixesa,betc.Que dire du triangle(ABC)?

Exercice 2.24On considère la fonctionfdeCdansCdéfinie par ?z?C,z?=,f(z) =z-2 z+i

1. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels que|f(z)|= 1

2. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels quef(z)?R

3. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels quef(z)?iR

Exercice 2.25Soitλ?C\{-i},montrer l"équivalence

λ?R???

?1 +λi

1-λi?

?= 1 -2/64-

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CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES1. LES BASIQUES

Exercice 2.26Soitr1la rotation de centreAd"affixe-1et d"angleπ3etr2la rotation de centreBd"affixej=ei2π3

et d"angle2π3. Montrer quer2◦r1est une symétrie centrale dont on précisera l"affixe du centre.

Exercice 2.271. Soit(ABCD)un quadrilatère. On noteA?,B?,C?etD?les milieux des côtés[A,B],[B,C],[C,D]

et[D,A]. Montrer queA ?B?C?D?est un parallélogramme, dit parallélogramme de Varigon de(ABCD)

2. On construit sur les côtés du triangle(ABC)les carrés(BCPQ)et(ACMN)comme indiqué sur la figure ci

dessous F G D EM N QP CB A On noteDetEles centres respectifs de ces carrés. On noteGle milieu de[A,B]etFle milieu de[M,P].

Montrer que(EGDF)est un carré.

Exercice 2.28SoientA,B,CetDles sommets d"un quadrilatère convexe. On construit sur lescôtés quatre triangles

isocèles rectangles comme indiqué sur le schéma ci dessous. B"C" D" A" A D C B Montrer queA?C?=B?D?et que ces deux segments forment un angle droit.

Exercice 2.29Résoudrez4= 24i-7.

-3/64-

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1. LES BASIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

Exercice 2.30Résoudre(z-i)n=zn

Exercice 2.31Soienta,betctrois complexes de module1tels queac?=-1,montrer que(c-b)(1 +ab)b(1 +ac)est un

imaginaire pur.

Exercice 2.32Soit(ABC)un triangle,A?,B?etC?les milieux des côtés (A?milieu de[B,C], B?milieu de[A,C]

etC ?milieu de[A,C]) etMd"affixez. On notea,b,cles affixes deA,BetC. Déterminer les affixesp,qetrdeP,Q,Rsymétriques deMpar rapport àA ?,B?etC?. Montrer que les droites (AP),(BQ)et(CR)sont concourantes en un pointNqui est le milieu de[A,P],[B,Q]et[C,R].Reconnaître l"applicationM?-→N.

Exercice 2.33Résoudre, pourn≥2,(z-1)n=zn,montrer que les points d"affixes les solutions sont tous sur une

droite parallèle à l"axeOyet ceci quelque soit la valeur den. Donner explicitement les solutions lorsquen= 2,3et4.

Exercice 2.34Résoudre, pournentier,n≥2l"équation(E) : (z+i)n=zn. Exercice 2.35Soitα?[0,2π[,on considère l"équation z

2-2α+1cos(α)z+ 22α= 0

1. Résoudre cette équation, on noteraz

1etz2les solutions.

2. SoientAetBles points d"affixez

1etz2etOle point d"affixe0,déterminerαpour que le triangleOABsoit

équilatéral.

Exercice 2.36Soitωun complexe fixé.

1. Déterminer les complexesztels que

2+ (2 +iω)z+ (iω+ 2-ω) = 0

On noteraz

1etz2les deux solutions.

2. Déterminer le lieu géométrique des complexesωtels que les pointsM,A,Bd"affixesω,z

1,z2respectivement

soient alignés.

Exercice 2.37Soient(a,b)?Cde module1tels que|a+b|=⎷3,calculer|a-b|. Donner un exemple de couple de

complexe vérifiant cette condition.

Exercice 2.38Montrer que?ztel que|z| ?= 1,on a?

?1-zn 1-z? n

1- |z|

Exercice 2.39Soientz1,···,znn complexes de modules1,on définitz=? n? k=1 zk ??n? k=1 1 zk ,montrer quezest 2. Exercice 2.40Soitz?C, exprimerRe?z2?en fonction de|z|et deRe(z). Exercice 2.41Calculer les racines deuxièmes de1 +isous forme polaire, en déduirecosπ8etsin

8ettanπ

Exercice 2.42Résoudre4z2+ 8|z|2-3 = 0oùz?C.

Exercice 2.43Soit(ABC)un (vrai) triangle,Qle milieu de[A,C]etRle milieu de[A,B]. On notea,b,cles longueurs des côtés opposés respectivement àA,BetC.Montrer que(BQ)?(CR)??b

2+c2= 5a2

Exercice 2.44SoitD=?

z?C,? ?z-1 2? 2? etf:C-→Cdéfinie parf(z) =z(1-z), montrer queDest stable parf(i.e. quez?D=?f(z)?D). -4/64-

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CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES2. LES TECHNIQUES

2 Les techniques

Exercice 2.45Soientaetbdeux complexes, montrer que

Exercice 2.46Soitaetbde module1etz?C, montrer que

Re ?z+ab z-a+b a-b? =-1

Exercice 2.47Soita?Cde module1,on notez1,z2,..,znles solutions de l"équationzn=a. Montrer que les point

M kd"affixe(1 +zk)nsont alignés Exercice 2.48Soitz?C, on définitz?=izz-2ilorsquez?= 2i. On noteM,M ?,A,Bles points d"affixez,z?,2i,i respectivement.

1. CalculerAM×BM

?. SiMdécrit un cercle de centreAet de rayonR,quel est le lieu deM??

2. Calculer

??-→i ,--→AM? +??-→i ,---→BM . En déduire que siMdécrit une droite passant parA(privée deA), alorsM décrit une droite passant parB. Exercice 2.49Soitz?C, on noteMle point d"affixez, Ple point d"affixez2etQle point d"affixez3.

Déterminer le lieu deMpour que

1.M,PetQsoient alignés.

2.M,PetQforment un triangle équilatéral.

Exercice 2.50Soitz?Ctel que|1 +z|<12,montrer que?

?1 +z 2? ?>1 Exercice 2.51Soitzde module1et tel que|1 +z|<1. Montrer que? ?1 +z 2? ?>1.

En déduire que siuetvsont deux complexes de même module supérieur à1alors|u+v| ≥1ou?

?u2+v2? ?>1.

Exercice 2.52Soit(a,b,c,d)?C4tel que?a+c=b+d

a+ib=c+id, on place les pointsA(a),B(b),C(c)etD(d). Donner la nature du quadrilatèreABCD. Montrer qu"il existeztel que(z-a)

4= (z-b)4= (z-c)4= (z-d)4.

Exercice 2.53On considère l"équation(E)z3+ (a-3i)z-1-3i= 0. Déterminera?Rpour qu"elle admette une

solution réelle. Déterminer alors les solutions.

Exercice 2.54SoitABCun triangle, on noterA,rBetrCles rotations de centreA,BetCet de même angleπ3.

Justifier que la transformationr

C◦rB◦rAest une symétrie centrale. On noteIle milieu de[B,C],comment doit être le triangleABCpour que le centre de cette rotation soit le milieu de[B,I]?

Exercice 2.55SoientA,BetCles points d"affixea,betcrespectivement. Montrer que le triangle(ABC)est équi-

latéral si et seulement sia

2+b2+c2=ab+ac+bc.

Exercice 2.56SoientA,BetCtrois points du plan, on place l"origineOdu plan au centre du cercle circonscritCà

(ABC). Ainsi0est l"affixe deO.On notea,betcles affixes deA,BetC.

1. Montrer que l"affixe de l"orthocentreHde(ABC)esta+b+c.

2. (Olympiades de St Petersbourg 1997).

SoientDun point deC, on noteK,L,MetNles milieux de[A,B],[B,C],[C,D]et[D,A]. Montrer que les orthocentres des triangles(AKN),(BKL),(CLM)et(DMN)sont les sommets d"un parallélogramme.

(Questions supplémentaires : comparer les isobarycentreset les aires de(ABCD)et de ce parallélogramme)

-5/64-

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2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

Exercice 2.57

1. Résoudre dansCl"équationz2-(1 + 2i)z-1 +i= 0.On noteraz1etz2les solutions.

2. Pournentier,n≥2,déterminer les racines énièmes dez

1et dez2.

3. SoitM

nle point d"affixezn1, Pnle point d"affixezn2etOl"origine du repère. Déterminer les entiersntels que le

triangle(OM nPn)soit rectangle.

Exercice 2.58Soientuetvdeux complexes, on définitzparz=u+iv.Déterminer une condition nécessaire et

suffisante pour que|z|2=u2+v2. Exercice 2.59Résoudre l"équation d"inconnuez, ?z

2+ 1?n= (z-i)2n

Exercice 2.60Trouver tous les complexesztels queMd"affixezetM1,M2,M3d"affixe les racines troisièmes dez

forment un parallèlogramme.

Exercice 2.61SoitABCun triangle rectangle enC,soitPle pied de la hauteur issue deC, Mle milieu de[C,P]

etNle milieu de[B,P]. Montrer que(AM)et(CN)sont perpendiculaires. On remarquera que deux triangles particuliers sont images par une similitude directe. Exercice 2.62Soienta,b,c,detαdes complexes, développer? ?a-αb? 2+? ?c-αd?

2,en déduire

|a|

2+|c|2?

+1 4? |b|

2+|d|2?

Plus généralement, montrer que

|a|2+|c|2?? |b|2+|d|2? Exercice 2.63Le but de cet exercice est de déterminer les complexesztels que? ?z+1 z? ?= 2

1. Soity?R, on définit le polynômeP(X) =X2+2?y2-1?X+y4-6y2+1.Déterminer les racines deP(i.e.

résoudreP(X) = 0d"inconnueX).

2. En déduire la factorisation deP(X)en un produit de deux polynômes du premier degré enX.

3. Montrer que l"équation?

?z+1 z? ?= 2est équivalente àP?x

2?= 0avecz=x+iyoùxetysont les parties réelles

et imaginaires dez.

4. Représenter géométriquement l"ensemble des pointsMdont l"affixe vérifie?

?z+1 z? ?= 2.

Exercice 2.64Soitu= exp?2iπ7?

etS=u+u 2+u4

1. CalculerSen fonction deu. En déduireS+SetSS. Quel est le signe deIm(S)?

2. Montrer que

cos ?2π 7? + cos?4π7? + cos?8π7? =-12etsin?2π7? + sin?4π7? + sin?8π7? 7 2 Exercice 2.65Résoudrez8-2?i⎷3-1?z4-8?1 +i⎷3?= 0.

Exercice 2.66Soitα=e

2iπ5,montrer quea=α2+α3etb=α+α4sont racines dex2+x-1et en déduire leur

valeur. -6/64-

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CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES3. LES EXOTIQUES

Exercice 2.67Soitp, un entier naturel non nul et l"équation enzsuivante : (E p) :pzp=zp-1+zp-2+···+z+ 1c"est à direpzp= p-1? k=0 zk

1. Une solution de(Ep)peut-elle être de module strictement supérieur à 1?

2. Soite

iθ, une solution de(Ep)de module 1, autre que 1, justifier l"égalité : e i(p+1)θ

2=sin(

pθ 2) psin(θ 2), puis en déduire une contradiction. Conclusion.

3 Les exotiques

Exercice 2.68Soitzun complexe tel que?

?1 +z+z

2+...+z9?

?= 1et|z|= 1.Montrer quez9= 1ouz11= 1.

Exercice 2.69Soitz?C\R-, en développant(z+|z|)2,trouver une formule simple pour calculer les racines

deuxièmes dez.

Exercice 2.70On considère l"équation

4+ (7-i)z3+ (12-15i)z2+ (4 + 4i)z+ 16 + 192i(E)

La résoudre sachant qu"elle admet une racine réelle et une racine imaginaire pure de même module.

Exercice 2.71On considère l"équation

2+ (1-i)z+α

oùα?C. Déterminerαpour que les points dont les affixes sont les racines de cette équation forment avec le pointP

d"affixei

2un triangle rectangle enP.

Exercice 2.72 (Olympiade mathématiques de Singapoure, test de sélection)Soit(ABCD)un carré. On construit

P?(AB)etQ?(BC)tels queBP=BQ. SoitHla projection orthogonale deBsur(PC).Montrer que(QH)et (HD)sont orthogonales. A B C D P Q H

Exercice 2.73SoientA,BetCtrois points du plan. On place l"origine du plan complexe au centreOdu cercleC

circonscrit au triangle(ABC). On peut supposer, sans perte de généralités que les affixesa,betcde ces points sont

des complexes de module1. -7/64-

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3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

1. SoitP( resp.S)le point d"intersection du cercleCet de la parallèle à(BC)(resp. la perpendiculaire à(BC))

passant parA. Déterminer les affixespetsde ces points.

2. SoitA

?le point d"intersection du cercleCet de la perpendiculaire à(AC)passant parS. Montrer queA?ne dépend pas du pointCIdentifier géométriquement ce point. P A"S C B A O

3. SoitRle point d"intersection de la parallèle à(AB)passant parCet du cercleC

Rquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES Enoncé des exercices

Chapitre 2

NOMBRES COMPLEXES

Enoncé des exercices

1 Les basiques

En déduire

Exercice 2.2Calculer(1 +i)25et?

1 +i⎷3

Exercice 2.3Soitz1= 1 +i,z2=⎷3 +ietz3=z1

1etz2, en déduire la forme polaire dez3. Justifier alors quecos?π12?

2⎷2et

2⎷2.En déduiretanπ12.

Exercice 2.4Soienta,betcdansC, montrer que

Par exemple on a5 = 2

2+ 12,401 = 202+ 12, quelle est la décomposition en somme de deux carrés de2005?

Exercice 2.7Résoudrez4=16⎷2

1-i(on demande uniquement la forme polaire des solutions )

Exercice 2.8Montrer que(|z|= 1etz?= 1)?i?z+ 1z-1?

1. LES BASIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

Exercice 2.14Résoudre l"équationz3=z.

Exercice 2.23On considère l"équation

3-(1 + 2i)z2+ 3(1 +i)z-10(1 +i) = 0(E)

1. Résoudre(E)sachant qu"elle admet une racine imaginaire pure.

2. On notea,betcles trois racines etA,B,Cles points d"affixesa,betc.Que dire du triangle(ABC)?

1. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels que|f(z)|= 1

2. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels quef(z)?R

3. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels quef(z)?iR

λ?R???

1-λi?

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CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES1. LES BASIQUES

2. On construit sur les côtés du triangle(ABC)les carrés(BCPQ)et(ACMN)comme indiqué sur la figure ci

Montrer que(EGDF)est un carré.

Exercice 2.29Résoudrez4= 24i-7.

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1. LES BASIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

Exercice 2.30Résoudre(z-i)n=zn

2-2α+1cos(α)z+ 22α= 0

1. Résoudre cette équation, on noteraz

1etz2les solutions.

2. SoientAetBles points d"affixez

1etz2etOle point d"affixe0,déterminerαpour que le triangleOABsoit

équilatéral.

Exercice 2.36Soitωun complexe fixé.

1. Déterminer les complexesztels que

2+ (2 +iω)z+ (iω+ 2-ω) = 0

On noteraz

1etz2les deux solutions.

2. Déterminer le lieu géométrique des complexesωtels que les pointsM,A,Bd"affixesω,z

1,z2respectivement

Exercice 2.38Montrer que?ztel que|z| ?= 1,on a?

1- |z|

8ettanπ

Exercice 2.42Résoudre4z2+ 8|z|2-3 = 0oùz?C.

2+c2= 5a2

Exercice 2.44SoitD=?

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CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES2. LES TECHNIQUES

2 Les techniques

Exercice 2.46Soitaetbde module1etz?C, montrer que

1. CalculerAM×BM

2. Calculer

Déterminer le lieu deMpour que

1.M,PetQsoient alignés.

2.M,PetQforment un triangle équilatéral.

Exercice 2.50Soitz?Ctel que|1 +z|<12,montrer que?

Exercice 2.52Soit(a,b,c,d)?C4tel que?a+c=b+d

4= (z-b)4= (z-c)4= (z-d)4.

Justifier que la transformationr

2+b2+c2=ab+ac+bc.

1. Montrer que l"affixe de l"orthocentreHde(ABC)esta+b+c.

2. (Olympiades de St Petersbourg 1997).

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2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

Exercice 2.57

1. Résoudre dansCl"équationz2-(1 + 2i)z-1 +i= 0.On noteraz1etz2les solutions.

2. Pournentier,n≥2,déterminer les racines énièmes dez

1et dez2.

3. SoitM

2+ 1?n= (z-i)2n