[PDF] Résistance des matériaux : élasticité, méthodes - IUT Le Mans

SAVOIR FAIRE Les élasticités Corrigé - Lafinancepourtous

[PDF] SAVOIR FAIRE Les élasticités Corrigé Lafinancepourtous lafinancepourtous corriges C SES nde savoirfaire elasticite pdf

SAVOIR-FAIRE Les élasticités Activités pour l'élève

[PDF] SAVOIR FAIRE Les élasticités Activités pour l'élève lafinancepourtous module ses savoirfaire elasticite pdf

5 L'élasticité et ses applications

[PDF] L'élasticité et ses applicationshomepages ulb ac be ~frycx Ecopol s pdf

Les élasticités de la demande - AUNEGE

[PDF] Les élasticités de la demande AUNEGEressources aunege nuxeo site AUNEGE elasticite pdf

Exercices Microéconomie (avec solutions) 2 Élasticités

[PDF] Exercices Microéconomie (avec solutions) Élasticités economics li graphiques downloads elasticites pdf

LE CALCUL DES ELASTICITES L'élasticité est un outil dont se sert l

[PDF] LE CALCUL DES ELASTICITES L'élasticité est un outil dont se sert l la revanche des ses TD Lecalculdeselasticites pdf

4G (CORRECTION) Exercices de remédiation sur l'élasticité de la

[PDF] G (CORRECTION) Exercices de remédiation sur l'élasticité de la myspace voo be Remediation g elasticite correction pdf

Résistance des matériaux : élasticité, méthodes - IUT Le Mans

[PDF] Résistance des matériaux élasticité, méthodes IUT Le Mansiut univ lemans ydlogi cours exercices rdm pdf

Examen 2014 + corrigé - Educnet - Ecole des Ponts ParisTech

[PDF] Examen + corrigé Educnet Ecole des Ponts ParisTech educnet enpc mod resource view php?id=

Correction DL1 EA 2013-2014 - Eloge des SES

Xm = ' ' b a Or, sachant que a = 'px py et que b = R py, il vient Xm = ( '' R py) ( 'px py) ' Xm = (' px) R En appliquant les données numériques de l' exercice Xm = (, ) R L'élasticité point de la fonction d'Engel s'établit comme suit Xm = , R ex R = ('X 'R) (R X) = ('X 'R) (X R) ex R = (, ) (R X)

Exercice corrigé - Cerdi

[DOC] Exercice corrigé Cerdicerdi uploads sfCmsBlog Corrige Examen CC doc

TD n° 15 - les élasticités - SES Secours - Free

[DOC] TD n° les élasticités SES Secours Freeses secours free premiere TD elasticite doc

sujet+corrigé de partiel (janvier 08) d'économie, LEA1 - Cours-univfr

[DOC] sujet+corrigé de partiel (janvier ) d'économie, LEA Cours univ cours univ documents ressource doc

l'elasticite-prix - La revanche des SES

[DOC] l'elasticite prix La revanche des SES la revanche des ses TD LecalculdesElasticites doc

la consommation des ménages

[DOC] la consommation des ménages ac clermont disciplines conso menages doc

Exercice 2 Le saut à l'élastique (5 points) Correction

[DOC] Exercice Le saut à l'élastique ( points) Correctionlabolycee Pondichery Exo Correction SautElastique pts doc

Exercice II Pendule élastique (4 points)

[DOC] Exercice II Pendule élastique ( points)labolycee Reunion Exo Sujet Pendule Elastique pts doc

BAC STMG Mercatique 10 Elasticite - Crcm-tl

[DOC] BAC STMG Mercatique Elasticite Crcm tlcrcm tl index php bac elasticite file

TD1 - Institut Supérieur de Gestion de Tunis

[DOC] TD Institut Supérieur de Gestion de Tunis isg rnu tn up pdf DOC

les élasticités - Apses

Interprétation du résultat L'élasticité prix d'un bien mesure « de combien de pourcents » varie la consommation de ce bien lorsque son prix augmente de Exercices Le er janvier , les taxes sur la bière ont été augmentées afin de financer le déficit de la sécurité sociale Cette mesure a fait augmenter le prix de&

L'élasticité-prix de la demande

[PPT]& L'élasticité prix de la demande ac clermont corrigee stagejacquespowerpointversioncorrige ppt

SAVOIR FAIRE Les élasticités Corrigé - Lafinancepourtous

[PDF] SAVOIR FAIRE Les élasticités Corrigé Lafinancepourtous lafinancepourtous corriges C SES nde savoirfaire elasticite pdf

SAVOIR-FAIRE Les élasticités Activités pour l'élève

[PDF] SAVOIR FAIRE Les élasticités Activités pour l'élève lafinancepourtous module ses savoirfaire elasticite pdf

5 L'élasticité et ses applications

[PDF] L'élasticité et ses applicationshomepages ulb ac be ~frycx Ecopol s pdf

Les élasticités de la demande - AUNEGE

[PDF] Les élasticités de la demande AUNEGEressources aunege nuxeo site AUNEGE elasticite pdf

Exercices Microéconomie (avec solutions) 2 Élasticités

[PDF] Exercices Microéconomie (avec solutions) Élasticités economics li graphiques downloads elasticites pdf

LE CALCUL DES ELASTICITES L'élasticité est un outil dont se sert l

[PDF] LE CALCUL DES ELASTICITES L'élasticité est un outil dont se sert l la revanche des ses TD Lecalculdeselasticites pdf

TD n° 15 - les élasticités - SES Secours - Free

[DOC] TD n° les élasticités SES Secours Freeses secours free premiere TD elasticite doc

td n° 13 – le calcul de l'elasticite–prix - SES Massena

[PDF] td n° ' le calcul de l'elasticite'prix SES Massena sesmassena sharepoint TD N° Le calcul de l élasticité prix (de) (

4G (CORRECTION) Exercices de remédiation sur l'élasticité de la

G (CORRECTION) Exercices de remédiation sur l'élasticité de la demande par rapport au prix et sur les marges bénéficiaires L'entreprise Godard fabrique des fût en plastic dont le coût de revient unitaire est de , ' L'entreprise souhaite réaliser une marge bénéficiaire de A combien devra t elle vendre le fût ?

[PDF] élasticité formule

[PDF] élasticité linéaire exercice

[PDF] élasticité linéaire exercice corrigé

[PDF] élasticité linéaire isotrope

[PDF] élasticité logarithme

[PDF] elasticité mercatique calcul

[PDF] élasticité prix de l'offre calcul

[PDF] élasticité prix de l'offre definition

[PDF] elasticité prix de la demande monopole

[PDF] électifs sciences po

[PDF] election parents d'élèves 2016 2017

[PDF] election parents d'élèves 2017 2018

[PDF] election parents d'élèves 2018

[PDF] election primaire 2016

[PDF] election representants des parents d'eleves 2017

R´esistance des mat´eriaux :

´elasticit´e,

m´ethodes ´energ´etiques, m´ethode des ´el´ements finis

Rappels de cours

et exercices avec solutions

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

D´epartement G´enie M´ecanique et Productique

20 juin 2011

Table des mati`eres

1

´Elasticit´e

1

1.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 D´eplacements et d´eformations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Contraintes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Formules math´ematiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 M´ethode des ´el´ements finis : approche r´esistance des mat´eriaux

25

2.1 Rappels : r´esolution d'un probl`eme stationnaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Partition des degr´es de libert´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2 Calcul des d´eplacements inconnus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3 Calcul des r´eactions d'appui

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Poutre soumise `a un effort normal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Treillis plans `a noeuds articul´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Poutre soumise `a un moment de torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli

. . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.1 Rappels : flexion dans le plan{xy}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 M´ethodes ´energ´etiques : poutres

83

3.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1 Expression de l'´energie de d´eformation en fonction des forces appliqu´ees : for-

mule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.2 Th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.3 Th´eor`eme de Castigliano

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.4 Th´eor`eme de M´enabr´ea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.5

´Energie de d´eformation d'une poutre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.6 Formules math´ematiques utiles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

IIExercices de resistance des materiaux

4 M´ethode des ´el´ements finis

121

4.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.1

´Energie de d´eformation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.2

´Energie cin´etique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.1.3

´Energie potentielle et ´el´ements finis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.1.4 Modes propres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.1 Assemblage

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.2 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.2.3 Exercice : mise en ´equation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2.4 Exercice : mise en ´equation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.2.5 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2.6 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.7 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.2.8 Exercice : modes propres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.2.9

´El´ement fini de torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2.10

´El´ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.2.11 Exercice : ´elasticit´e plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Chapitre 1

Elasticit´e

1.1 Rappels

Les d´eplacements et les d´eformations sont petits.

1.1.1 D´eplacements et d´eformations

Vecteur d´eplacement :

⃗u=---→M0M ,{u}= u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z) (1.1.1)

Tenseur des d´eformations :

xx1 2

γxy1

2

γxz

1 2

γxyεyy1

2

γyz

1 2

γxz1

2

γyzεzz

,[ε]T= [ε](1.1.2) xx=∂u ∂x , εyy=∂v ∂y , εzz=∂w ∂z (1.1.3a) xy=∂u ∂y +∂v ∂x , γxz=∂u ∂z +∂w ∂x , γyz=∂w ∂y +∂v ∂z (1.1.3b) Allongement unitaire enMdans la direction{n}= n x n y n z

ε(M,⃗n) ={n}T[ε(M)]{n}

Glissement enMdans les directions orthogonales⃗naet⃗nb: γ(M,⃗na,⃗nb) = 2{nb}T[ε(M)]{na},{nb}T{na}= 0(1.1.5)

Variation relative de volume :

V(M) = tr[ε] =εxx+εyy+εzz(1.1.6)

2Exercices de resistance des materiaux

1.1.2 Contraintes

Vecteur contrainte sur la facette⃗nenM:

T(M,⃗n) =σn⃗n+⃗τn(1.1.7a)

Soit{n}=

n x n y n z un vecteur unitaire enM. Le vecteur contrainte sur la facette⃗nenMest donn´e par la formule de Cauchy : T x T y T z xxσyxσzx xyσyyσzy xzσyzσzz n x n y n z ,{T}= [σ(M)]{n}(1.1.8) o`u [σ(M)] est le tenseur des contraintes enM.

Le tenseur des contraintes est sym´etrique :

[σ] = [σ]Tsoitσxy=σyx, σxz=σzx, σyz=σzy(1.1.9)

La contrainte normale sur la facette⃗nest :

n={n}T[σ]{n} =n2xσxx+n2yσyy+n2zσzz+ 2nxnyσxy+ 2nxnzσxz+ 2nynzσyz(1.1.10) Soientσ1,σ2etσ3les trois contraintes principales en un pointMd'un solide. Les crit`eres de

Rankine, Von Mises et de Tresca s'´ecrivent :

1 2

1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive

Si le mat´eriau est isotrope, la loi de comportement s'´ecrit : xx=1 E (σxx-ν(σyy+σzz)) yy=1 E (σyy-ν(σxx+σzz)) zz=1 E (σzz-ν(σxx+σyy))(1.1.12a) xy=σxy G , γxz=σxz G , γyz=σyz G , G=E

2(1 +ν)(1.1.12b)

o`uEetνsont respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson du mat´eriau.

Elasticite3

1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes

Le tenseur des contraintes se r´eduit `a :

xxσxy0 xyσyy0

0 0 0

(1.1.13) d'o`u l'expression du tenseur des d´eformations : xx1 2

γxy0

1quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18