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MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS SOLIDES EXERCICES
janv Résumé Quelques exercices de M M C "concrets", de difficultés très variables,
lim ités aux hypothèses des petites perturbations, i e élasticité linéaire et petits
déplacements L'objectif est d'illustrer des notions utiles pour la caractéri sation
mécanique Pour finir, un peu de thermomécanique du collage&
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-1- CHAPITRE VI Methodes energetiques I Généralités : principes
Exercices résolus generalites principes fondamentaux On considère dans la
suite exclusivement des déformations infinitésimales Aucune non linéarité
Pour un matériau élastique linéaire isotrope, on a par exemple où Wél est l'
énergie élastique stockée dans le matériau, exprimée en fonction des
déformations
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févr Énergie de déformation élastique Relations de
Calcul des déplacements et des rotations Poutre `a
plan moyen chargée dans son plan Exercices poth`ese d'une
loi de comportement élastique linéaire du matériau L'objectif
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MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS SOLIDES
EXERCICES
ECPM année 2012-2013
Christophe Fond
Université de Strasbourg
Christophe.Fond@unistra.fr
Résumé
Quelques exercices de M. M. C. "concrets", de difficultés très variables, lim- ités aux hypothèses des petites perturbations, i. e. élasticité linéaire et petits déplacements. L"objectif est d"illustrer des notions utiles pour la caractéri- sation mécanique. Pour finir, un peu de thermomécanique du collage au travers d"un exercice plus difficile. Mots clefs:solides déformables - mécanique des milieux continus - contraintes - déformations - dilatation thermique - thermomécanique - caractérisation mécanique - élasticité linéaire isotrope - petites déformations - cinématiqueICube23 janvier 2013
Table des matières
1 Déplacements et déformations3
1.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 Mesure de la déformation en traction uniaxiale4
2.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43 Essai de traction uniaxiale5
3.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54 Cisaillement, distorsion, modules d"élasticité7
4.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75 A propos de l"essai de compression8
5.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106 Dilatations différentielles10
6.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 21. Déplacements et déformations
1.1. Questions
On considère un champ de déplacements défini le dans le repère cartésien (-→x ,-→y ,-→z) par les composantes-→U= (ux,uy,uz). Les déplacements sont tels que :ux=-νax+cy,uy=-νay-cxetuz=az+b, où a, b et c sont des constantes. On rappelle que le calcul des déformations est donné par = (1/2)(gradU+grad
T -→U)1 - Décomposer ce champ en translation, rotation et déformation.
2 - Calculer les contraintes liées aux déformations en élasticité linéaire
isotrope. De quelle type de sollicitation s"agit-il?1.2. Réponses
1 - Ce champ de déplacements contient une translation de solide rigide
selon-→zd"amplitude b, i. e.-→U0= (0,0,b). Il contient aussi une rotation selon-→zd"amplitude-cdéfinie par le pseudo vecteur-→ω= (0,0,-c)de sorte que-→ω?(x,y,z) = (cy,-cx,0). Ce pseudo vecteur est équivalent à la matrice
?x y z? ?cy -cx 0? ?x y z? ?0c0 -c0 00 0 0?
?x y z? Enfin, la déformation obtenue en calculant le gradient du vecteur déplace- ment. 1 22∂ux/∂x∂uy/∂x+∂ux/∂y ∂uz/∂x+∂ux/∂z
∂u ∂u z/∂x+∂ux/∂z ∂uy/∂z+∂uz/∂y2∂uz/∂z? -νa0 00-νa0
0 0a? Finalement la décomposition en translation + rotation + déformation donne respectivement ?u x u y u z? ?0 0 b? ?cy -cx 0? ?-νax -νay az? 3 Figure1: Strictions et ruptures en traction uniaxiale - schéma de l"éprouvette de traction.2 - En élasticité linéaire isotrope la loi de comportement peut s"écrire
d"où =a? -2μν+λ(1-2ν)000-2μν+λ(1-2ν)0
002μ+λ(1-2ν)?
0 0 0 0 0 00 0Ea?
carλ=Eν (1+ν)(1-2ν)etμ=E2(1+ν).
2. Mesure de la déformation en traction uniaxiale
2.1. Questions
Supposons que l"on mesure, en traction uniaxiale, un allongementΔL pour une longueur initialeL0. Cet allongement s"effectue dans la première direction principale puisque cela correspond à la plus grande déformation, i. e.?1. Nous noteronsx1cette direction etu1(x1)les déplacements dans cette direction. On poseu1(0) = 0.1 - Comment s"exprime le déplacement enx1=L0à partir de?1si?1
est uniforme?2 - Comment s"exprime le déplacement enx1à partir de?1si?1n"est
pas uniforme? Que peut-on en déduire concernant la mesureΔL/L0?3 - Peut-on mesurer convenablement la déformation à l"aide du déplace-
ment de la traverse de la machine de traction?2.2. Réponses
1 -?1=∂u1/∂x1et dans ce cas∂u1/∂x1= ΔL/L0partout donc
u1(L0) = ΔL=?1L0
2 -u1(x1)≡?x10(∂u1(l)/∂l)dldoncu1(x1) =?x10?1(l)dl. Il vientΔL=?LO0?1(l)dlpuisΔL/L0= (1/L0)?LO0?1(l)dl. En d"autre termes,ΔL/L0est
la moyenne de la déformation?1calculée entre 0 etL0, i. e.ΔL/L0=< ?1>. 43 - L"idéal est de placer un extensomètre ou une jauge de déformation
dans la zone où la déformation est uniforme, i. e. non perturbée par les bords. Toutefois, lorsqu"une striction apparaît dans la zone de mesure, la valeur mesurée n"est plus convenable et constitue une moyenne. Si l"on ne dispose que de la mesure du déplacement de la traverse, le déplacement ΔLva intégrer des déformations plus petites correspondant aux zones où l"éprouvette est plus large. La contrainte moyenne de traction selonx1vaut F/S, i. e.< σ1(x1)>=F/S(x1)où la moyenne est cette fois calculée sur S en intégrant surx2etx3. On remarque que F ne dépend pas dex1puisque l"équilibre doit être assuré partout. Près des mors l"éprouvette est plus large qu"en son centre donc S plus grand qu"en son centre. La contrainte moyenne de traction y est donc plus petite et la déformation?1est donc aussi plus petite. Pour mieux estimer la déformation au centre, il convient donc de diviser par une longueurL0plus petite que la distance initiale entre nus des mors. Il n"est pas possible d"avoir une bonne estimation quelle que soit le comportement du matériau. Il faut garder à l"esprit que cette façon de calculer la déformation sans extensomètre constitue une estimation. La Fig. 2 illustre la répartition de la déformation longitudinale au voisi- nage des mordaches de la machine de traction pour une éprouvette de trac- tion uniaxiale classique dont les bords à insérer dans les mordaches sont élargis. On constate effectivement un effet de bord et il faut s"en éloigner typiquement d"une largeur d"éprouvette pour rencontrer un champ quasi- ment uniforme (de couleur jaune sur la figure). Les bords élargis permettent d"éviter une rupture prématurée au bord de la zone de fixation puisque dans cette zone la matière est étirée dans une direction et écrasée dans une autre direction perpendiculaire.3. Essai de traction uniaxiale
3.1. Questions
La Fig. 3 décrit un essai de traction uniaxiale selon -→z. La surface de la section sur laquelle la force F est appliquée vautS0.1 - définir le tenseur des contraintes dans le repère (-→x ,-→y ,-→z)
2 - calculer le vecteur contrainte-→Tpour les directions-→n= (0,1/⎷
2,1/⎷
2) et-→t= (0,-1/⎷2,1/⎷
2).3 - calculer le tenseur des déformations en élasticité linéaire isotrope.
3.2. Réponses
1 - l"analyse des sollicitation sur chaque face donne
?0 0 0 0 0 00 0F/S0?
5 Figure2: Répartition de la déformation longitudinale en traction uniaxiale. Modèle encontraintes planes par éléments finis en élasticité linéaire isotrope. Seul un quart de l"éprou-
vette est représentée pour raison de symétrie. Figure3: Traction uniaxiale et rappel des notations. 2 - -→T-→n=σ -→ndonc-→T-→n= (0,0,1/⎷2σzz) =F/S0(0,0,1/⎷
2).-→T-→t=σ
-→tdonc-→T-→t= (0,0,1/⎷2σzz) =F/S0(0,0,1/⎷
2).3 - la loi de comportement s"écrit
σxx/E-ν(σyy+σzz)/E(1 +ν)σxy/E(1 +ν)σxz/E (1 +ν)σxy/Eσyy/E-ν(σxx+σzz)/E(1 +ν)σyz/E (1 +ν)σxz/E(1 +ν)σyz/Eσzz/E-ν(σxx+σyy)/E? d"où ?-νF/ES0000-νF/ES00
00F/ES0?
64. Cisaillement, distorsion, modules d"élasticité
4.1. Questions
La Fig. 4 décrit un cisaillement pur dans le plan(-→x ,-→y).1 - équilibrer le coin en haut à droite,
2 - en déduire qu"il s"agit d"une superposition de traction et compression
à45◦de même intensité,
3 - déduire de cette superposition que cette sollicitation conserve le vol-
ume dans le cas de l"élasticité linéaire isotrope,4 - relier la déformation de distorsionγxyaux allongement et raccour-
cissement à45◦,5 - en déduire la relation entre le module de cisaillement et les modules
d"Young et coefficient de Poisson,4.2. Réponses
1 - supposons un élément de volume carré de côtés dl et d"épaisseur 1
comme représenté sur la Fig. 4. Les longueurs des segments du coin valent dl, dl et⎷2dl. Les forces agissant sur les faces sont :
pour -→n=-→x:σxydl-→y pour-→n=-→y:σxydl-→x pour-→n=-1/⎷ 2 -→x-1/⎷ 2 -→y:Tx⎷2dl-→x+Ty⎷
2dl-→y
L"équilibre impose que la somme des forces soit égale au vecteur nul, i. e. que la somme des composantes selon-→xsoit nulle et que la somme des composantes selon-→ysoit nulle (il n"y a pas de composante selon-→zdans ce cas particulier) : xydl+Tx⎷2dl= 0
xydl+Ty⎷2dl= 0
On en déduit queTx=-σxy/⎷
2et queTy=-σxy/⎷
2. La composante
normale de cette contrainte s"obtient en faisant le produit scalaire avec la direction normale à la facette, i. e. avec-→n=-1/⎷ 2 -→x-1/⎷ 2 -→yet la composante tangentielle dans le plan (-→x ,-→y) en faisant le produit scalaire avec la direction parallèle à la facette-→t= 1/⎷ 2 -→x-1/⎷ 2 -→y. - composante normale sur la facette définie par-→n: nn=-→T-→n·-→ni. e.σnn=σxy - composante normale sur la facette définie par -→t: nt=-→T-→n·-→ti. e.σnt= 0 72 - en prenant(-→n=-1/⎷
2 -→x+ 1/⎷ 2 -→yon montre que pour le coin inférieur droit la situation est la même au signe près. Siσxyest positif, alors la diagonale inclinée à45◦est en traction et la diagonale inclinée à-45◦est en compression. Traction et compression ont même intensitéσxy.3 - si une traction uniaxiale tend à faire augmenter le volume, une com-
pression uniaxiale de même intensité tend à le diminuer d"autant, quelle que soit la direction de celles-ci dans un matériau isotrope puisque en élasticité linéaire on peut superposer les effets des sollicitations pour obtenir la somme des effets.4 - la Fig. 5 montre les déplacements induits par la distorsionγxy. Par
définition, le module de cisaillementμrelie la contrainte de cisaillement à la distorsion, i. e.σxy≡μγxy. Le déplacement selon-→xd"un point situé à une distance dl selon-→xvaut doncdl tan(γxy/2)≈dlγxy/2puisque lesdéformations sont petites (γxy<<1). De même pour le déplacement selon-→y. La longueur de la diagonale vaut⎷