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août la trace du tenseur des déformations égale la divergence du déplacement (c'est la dilatation) ;; la divergence du gradient de u est son laplacien, noté 'u On obtient ainsi l'équation suivante Emblem equal defined svg Équation de Navier de l'élasticité linéaire isotrope pour un matériau homogène

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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotrope

ELASTICITE

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotrope

Loi de comportement du matériau

ContraintesDéformations

Hypothèse des petites

perturbationsHypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u) t tenseur des contraintes : t = s . n avec s s ( X, t)

équations de compatibilité

e ki,jl e lj,ik e kj,il e li;jk

équations d"équilibre :

s ij,j + f vi rg i conditions aux limites : W u conditions aux limites : s W T

ELASTICITE

Cadre général

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

tractionflexion Discorsie Demonstrazioni matematicheGalilée (1638) :

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotropeRésistance des solides

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Hooke (1660) :

Mariotte (1680) :

notion de module d"élasticitéRelation entre déformations et contraintes en

élasticité

même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion)

Young (1807) :

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotropeRelation contrainte-déformation

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

partie utile

élasticité

Plasticité

homogène localisation

élasticité

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotropeCourbe force-allongement

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Pour passer de F à

s , il faut connaître la section courante S de la partie utile de l"éprouvette ssss 0 0 00 0 00 0 F/S section S

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotropeTenseur des contraintes

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

x= X 1 (1- b t) X 2 (1- b t) X 3 (1+ a t)v = b x 1 /(1- b t) b x 2 /(1- b t) a x 3 /(1+ a t) e ln(1- b t) ln(1- b t) ln(1+ a t) 00 00 00 lagrangien(Green-Lagrange) : E = b t + ½ b 2 t 2 b t + ½ b 2 t 2 a t+ ½ a 2 t 2 00 00 00 eulérien(Euler-Almansi) :cinématique : E = 00 00

001 -1

(1- b t) 2 1 -1 1 -1 (1- b t) 2 (1+ a t) 2

En pratique, intégration

du champ de vitesses de déformation

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotropeTenseur des déformations

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

e 33
= ln(1+ a t)=ln(l/l 0 s =F/S

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotropeCourbe contrainte-déformation

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

ssss s 33
0 0 00 0 00 0 1 s 33
= E e 33
E

Module d"Young

eeee e 33
n 0 00 n 00 0 1

Coefficient de Poisson

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformationRelation contrainte-déformation

Domaine d"élasticitéHistoriqueL"essai de tractionLoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubiqueBilanRésuméTenseur des contraintes

Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotropeDomaine d"élasticité

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

s = C: e e = S: s

Tenseur des rigidités

Tenseur des complaisances

36 coefficients !!!!

Ordre 4

81 termes !!

s 11 s 22
quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17