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mecanique : acceleration - Univ-lille1
) et la durée en seconde (s), l 'accélération a pour unité le mètre par L ' accélération tangentielle traduit les variations de valeur de la vitesse sur le trajet si
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Mécanique Cinématique Cinématique C2
Objectif :
Définir, décrire et calculer la vitesse ou l'accélération d'un point d'un solide.CINEMATIQUE C2
Vitesse et accélération
1. Vitesse
1.1. Notion de vitesse
Soit (S) un solide en mouvement dans un repère % 0 Soit M un point appartenant au solide (S), de coordonnées x(t), y(t) et z(t) à l'instant t.Soit T(MS/%
0 ) la trajectoire de M. Sur cette trajectoire, choisissons par convention : une origine M 0 un sens positif ; une unité de longueur. O 0 z y xM2 M1 M0 (S)T(MS/%
0On relève, aux instants t
0 , t 1 , t 2 , les positions du point M appartenant à S dans le repère % 0Instants t
0 t 1 t 2Position sur T(MS/%
0 ) M 0 M 1 M 2Abscisse curviligne s = f(t) s
0 = 0 s 1 = M 0 M 1 s 2 = M 0 M 2S = arc M
0 M = valeur algébrique, à l'instant t, de l'arc orienté M 0 M1.2. Vitesse algébrique moyenne
Entre t
1 et t 2 V(t 1 t 2 moy 12 12 tt ss ǻt ǻs1.3. Vitesse algébrique instantanée
Si t 2 est très proche de t 1 , alors t devient infiniment petit. v(t) = td sd = s'(t) (dérivée de l'abscisse curviligne)1.4. Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur vitesse du point M dans son mouvement par rapport au repère fixe % 0 , est égal à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur position, dans le repère % 0 )S/RV(M0 = tǻ MM' lim0tǻ
)S/RV(M0 = 0 dt OMdLe vecteur )S/RV(M0 est tel que :
- son origine est confondue avec la position de M à l'instant t ; - il est toujours tangent en M à la trajectoire T(MS/% 0 - il est orienté dans le sens du mouvement ; - sa norme est )S/RV(M0= |v| = td sd - unité : mètre par seconde, ou m/s. O 0 z y xM2 M1 M0 (S)T(MS/%
0 )S/RV(M0 C2_v itesse et accélérati on.doc 11 09 2005Vitesse et accélération page 1/5
Mécanique Cinématique Cinématique C2
Autre expression possible :
x(t) dt dxSi _OM y(t)
Alors )S/RV(M0
dt dy z(t) 0 dt dz 02. Accélération
2.1. Accélération tangentielle moyenne
Si le point M se situe en M
1à l'instant t
1 et qu'il possède une vitesse instantanée v 1 ; s'il passe à l'instant t 2 en M 2à la vitesse v
2 son accélération tangentielle moyenne entre t 1 et t 2 vaut : a t (t) moy 12 12 tt vv ǻt ǻv 0 z y x M2 M1 (S)T(MS/%
0 O L'accélération peut aussi être notée (MS/% 0 ) ou (MS/% 02.2. Accélération tangentielle instantanée
A l'instant t quelconque, elle correspond à la limite du rapport ǻt ǻv lorsque t 0. a t (t) = dt dv ; or v(t) = td sd ; d'où a t (t) = 2 2 td sd = s''(t)2.3. Vecteur accélération
_a(M/% 0 0 0 dt )V(M/d 0 2 2 dt OMd Composantes tangentielles et normales de l'accélération :Soient :
n un vecteur unitaire normal en M à la trajectoireT(MS/%
0 ), orienté vers l'intérieur de la courbure ; t un vecteur unitaire tangent en M à T(MS/% 0 orienté comme la trajectoire. O 0 z y x MT(MS/%
0 n t Dans cette base (n,t), l'accélération peut s'écrire : _a(M/% 0 ) = a n n + a t t avec : a n = accélération normale = R v 2 (R représente le rayon de courbure) a t = accélération tangentielle = dt dvVitesse et accélération page 2/5
Mécanique Cinématique Cinématique C2
Autre expression possible :
dt dx 2 2 dt xdSi )S/R0V(M
dt dyAlors )S/Ra(M0
2 2 dt yd dt dz 0 2 2 dt zd 03. Cas du mouvement de translation rectiligne uniforme
3.1. Définition
C'est le mouvement le plus simple, sans accélération (a=0) et avec une vitesse constante au cours du temps.