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Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 1 sur 13 FFoorrmmuullaaiirree dd''aaiiddee àà llaa rrééssoolluuttiioonn ddeess pprroobbllèèmmeess ddee ccaallccuull ttooppoommééttrriiqquuee Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe &

BEP Topographie

- Version 2013 - Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 2 sur 13

Sommaire

1 - Triangle quelconque

2 - Triangles semblables

3 - Triangle rectangle

4 - Trapèze

5 - Polygone de n côtés

6 - Raccordements circulaires

7 - Secteur circulaire

8 - Transformations de coordonnées

9 - Intersection de deux droites

10- Intersection de deux cercles

11- Intersection droite - cercle

12 - Nivellement indirect

13- Corrections des distances

14- Correction de niveau apparent

15- Relèvement sur 3 points : méthode du barycentre

16- Relèvement sur 3 points : méthode de Delambre

17- Changement de base

Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 3 sur 13

Conventions relatives aux travaux topographiques

Unités en vigueur :

- distance en mètre (m) - angle en grades (gon)

Systèmes de coordonnées géographiques

Longitude, latitude, h

Systèmes de coordonnées planimétriques

- Coordonnées locales : x, y, Altitude (H) ou Hauteur (h) - Coordonnées Lambert 93 : e, n, Altitude(H) - Coordonnées RGF 93 CC (9 zones) : E, N, Altitude(H) Systèmes de coordonnées géocentriques X, Y, Z Systèmes de coordonnées altimétriques (altitude normale) - NGF-IGN 69 (NGF-IGN 78 pour la Corse)

Rayon de la terre : 6370 km

Terminologie usitée :

- ht = hauteur des tourillons - hp = hauteur de prisme = hv (voyant) ou hr (réflecteur) Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 4 sur 13 A B C b a c h m n croquis - schémas formules

1-Triangle quelconque

Relation des sinus

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Relation des cosinus

a2 = b2 + c2 - 2 b . c . cos A b2 = a2 + c2 - 2 a . c . cos B c2 = a2 + b2 - 2 a . b . cos C

Superficie

S = 1/ 2 (a . b . sin C)

S = 1/ 2 (a . c . sin B)

S = 1/ 2 (b . c . sin A)

S = (a2 . sin B . sin C) / 2 sin A

avec p = 1/2 périmètre n = (c2 +a2 - b2 )/ 2a h2 = c2 - n2 =b2 - m2

2-Triangles semblables

Théorème de Thalès

A

Aൌ AB

AൌB

S AMN = S ABC . k2

A B C N M Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 5 sur 13 A B C b a c croquis - schémas formules

3-Triangle rectangle

sin B = côté opposé /hypoténuse = b/a cos B = côté adjacent/hypoténuse = c/a tan B = côté opposé /côté adjacent = b/c

BA2 +AC2 = BC2

Superficie

S = 1/2 ( b . c)

4-Trapèze

S1 = superficie MJKQ

JK2 = MQ2- 2S1 (1/tan Q -1/tan M)

QK = 2S1 / (MQ + JK). sin Q

JM = 2S1 / (MQ + JK). sin M

5-Polygone de n cotés

Somme des angles intérieurs

ɇ = (n - 2) . 200

Somme des angles extérieurs

ɇ = (n + 2) . 200

Superficie

A B C D E F G M Q P N J K S1 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 6 sur 13 croquis - schémas formules

6-Raccordements circulaires

Périmètre du cercle= 2.ʋ. r

Superficie du cercle = ʋ.r2

Longueur de la corde T1T2 = 2.r.sin (ɴ/2)

Longueur de l'arc с T1T2 = 2.ʋ. r. ɴ /400 Longueur de la flèche MH = r - [r.cos (ɴ/2)]

Longueur de la tangente

ST1 = ST2 = r . tan(ɴ/2)

7-Secteur circulaire

Triangle: S = ½ . r2. sin

Secteur: S ʋ. r2. ɴ/400

Segment: S Secteur - S triangle

0 M T1 T2 r S H 0 T1 T2 r

Triangle

Segment

Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 7 sur 13 croquis - schémas formules

8-Transformations de coordonnées xB - xA = DAB .sin GAB

yB - yA = DAB .cos GAB

Gisement AB

tan G' с IѐxI /IѐyI on obtient G' aǀec son signe si ѐx ш0 et ѐyш0 GAB с G' si ѐx ш0 et ѐyч0 GAB = 200-G' si ѐx ч0 et ѐyч0 GAB с 200нG' si ѐx ч0 et ѐyш0 GAB = 400-G'

9-Intersection de deux droites

1ère méthode :

GAB et DAB par (x,y)

résolution du triangle AMB angle A = GAB- GAM angle B = GBM - GBA

DAM et DBM

Calcul des (x,y) de M depuis A

Contrôle : (x,y) de M depuis B

2ème méthode : (formule de Delambre)

depuis A

(xA - xB) - (yA - yB) . tan GBM yM - yA= ------------------------------ tan GBM - tan GAM

xM - xA = (yM - yA) . tan GAM

Contrôle: idem depuis B

x xB xA B A yA yB GAB y O B y O x A GAM M GBM Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 8 sur 13 croquis - schémas formules

10-Intersection de deux cercles

calcul de GO1-O2 et DO1-02 par (x,y) résolution du triangle O1O2M calcul de GO1-M puis xM et yM par rapport à O1

Contrôle :

calcul de GO2-M puis calcul de xM et yM par rapport à O2

11-Intersection droite - cercle

GAO et DAO par (x,y)

résolution du triangle AOM1

OM1 = r = rayon

Calcul angle A, angle M1, angle O

Distance AM1

Calcul des (x,y) de M1 depuis A

Contrôle :

Calcul des (x,y) de M1 depuis O

idem pour le triangle AOM2 x y O O2 O1 M r1 r2 M y O x 0 A GAM M1 M2 r Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 9 sur 13quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17