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M´ethode du pivot de Gauss
D´edou
Octobre 2010
La m´ethode du pivot
La m´ethode du pivot
permet d"associer `a tout syst`eme lin´eaire un syst`eme facile ´equivalent.Elle consiste `a s´electionner une ´equation qu"on va garder intacte, et dans laquelle on va rendre une inconnue facile (en l"´eliminant des autres ´equations). Dans cette d´emarche, ce qu"on appelle le pivot, c"est la paire (´equation, inconnue) choisie.Mon premier pivot I
Pour r´esoudre le syst`eme
?2x+ 3y+z= 13x+y+ 5z= 2
4x-y-z= 0,
on d´ecide de rendre facile l"inconnuexdans le premi`ere ´equation. Pour cela, on "tue"xdans les deux autres en faisant E2:= 2E2-3E1, puisE3:=E3-2E1. On obtient le syst`eme facile
´equivalent :
?2x+ 3y+z= 1 -7y+ 7z= 1 -7y-3z=-2.Mon premier pivot II
Pour r´esoudre le syst`eme facile
?2x+ 3y+z= 1 -7y+ 7z= 1 -7y-3z=-2. on r´esout le syst`eme d´eriv´e (par combinaison lin´eaire) et on conclut avec l"´equation facile.Exo 1Faites-le.
Le choix par d´efaut du pivot
Pour appliquer la m´ethode du pivot `a un syst`eme, on commence donc par y choisir une ´equation et une inconnue qu"on va rendre faciles en modifiant les autres ´equations. Le choix de la premi`ere ´equation et de la premi`ere inconnue est le choix par d´efaut .Pour le syst`eme
?3y+t= 12x+ 5z-t= 2
y-z-t= 0, le choix par d´efaut ne convient pas puisquexn"apparaˆıt pas dans la premi`ere ´equation.Le cas sympa
Le cas sympa,
c"est quand le coefficient de l"inconnue facile est 1 (ou-1).Pour r´esoudre le syst`eme suivant, on choisit le pivot par d´efaut :
?x+ 3y+t= 1