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A propos des matrices echelonnees
Antoine Ducros
appendice au cours deGeometrie ane et euclidiennedispense a l'Universite Paris 6
Annee universitaire 2011-2012
Introduction
Soitkun corps, soitEunk-espace ane de dimension nie, et soitRun repere cartesien deE. Il y a, en pratique, deux facons de decrire un sous-espace aneFdeEen coordonnees dansR. (i)On peut en donner un systeme d'equations cartesiennes (anes), c'est- a-dire encore le decrire comme l'ensemble des antecedents d'un point par une application ane.Par exemple, le systeme d'equations x+yz= 1 xy+ 3z= 3 denit une droite deR3(muni de son repere canonique); il la decrit tres precisement comme l'ensemble des antecedents du point (1;3) par l'application ane R
3!R2;(x;y)7!(x+yz;xy+ 3z):
(ii)On peut en donner un parametrage (ane), c'est-a-dire encore le decrire comme l'image d'une application ane.Par exemple, f(25s+t;2 +st;4 + 2st)g(s;t)2R2 denit un plan deR3(muni de son repere canonique), et le decrit plus precisement comme l'image de l'application ane R
2!R3;(s;t)7!(25s+t;2 +st;4 + 2st):
Remarquons que se donner un parametrage ane deFrevient a en don- ner un point (ses coordonnees sont les termes constants du parametrage) et une famille generatrice de l'espace directeur (formee par les vecteurs de co- ecients de chacun des parametres). Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le sous- espace ane considere est egal a 8< (2;2;4)|{z} termes constants+s(5;1;2)|{z} coecients des+t(1;1;1)|{z} coecients det9 (s;t)2R2 et est donc le sous-espace ane deR3passant par le point (2;2;4) et dirige par
Vect((5;1;2);(1;1;1)).
1 Ces deux types de descriptions ont leurs merites propres. Une description par equations cartesiennes permet de savoir immediatement si un point donne appartient aF: il sut de regarder si ses coordonnees satis- font les equations. Ainsi on voit immediatement que le point (1;1;1) appartient a la droite donnee en (i), mais pas le point (2;2;2) (qui ne satisfait pas la seconde equation). Une description parametrique ne permet pas de traiter ce genre de question aussi simplement; par exemple, on ne peut pas direinstantanementsi (1;5;1) appartient ou non au plan decrit en (ii). Une description parametrique fournit, par sa forme m^eme, une listeexplicite de tous les points deF. Si l'on conna^t un systemeSd'equations cartesiennes deF, une telle liste peut ^etre vue comme une liste explicite de toutes les solu- tions deS; on ne peut pas en exhiber uneinstantanementa partir deS. Le but de ce petit texte est de fournir une methode systematique de passage d'une description a l'autre. Elle n'est pas compliquee { elle consiste simplement a utiliser le pivot de Gau pour mettre, par manipulations elementairessur les lignes, une matrice donnee sous une forme particuliere, diteechelonnee (en lignes), mais se revele redoutablement puissante; expliquons succinctement en quoi. Elle marcheaussi bienpour passer d'une description parametrique aux equations cartesiennes que pour aller dans l'autre sens. Elle fournit dans chaque cas une description aussi simple que possible, dans le sens suivant. Supposons tout d'abord que l'on parte d'un systemequelconqued'equations cartesiennesSdecrivant un sous-espace aneFdeE. L'echelonnement four- nit alors un point et unebase(et pas seulement une famille generatrice) de l'espace directeur deF; en d'autres termes, il permet d'obtenir une description de l'ensemble des solutions deSavec un nombre minimal de parametres. Supposons maintenant que l'on parte d'une description parametriquequel- conquedeF. L'echelonnement fournit alors un systememinimald'equations cartesiennes deF, c'est-a-dire que les equations lineaires qui leur sont associees forment une famille libre. Elle permet desimplierla description d'un sous-espace ane par un systeme d'equations cartesiennes : si l'on se donne un systeme d'equations cartesiennesSd'un sous-espace aneFdeE, elle fournit a partir deS un systeme d'equations cartesiennesS0deFdont les equations lineaires as- sociees forment une famille libre; de plus, les equations qui constituentS0sont particulierement simples. Elle permet d'inverser une matrice, et donc de calculer la reciproque d'une application ane. Mentionnons toutefois une limite de cette methode : si l'on se donne un point et une famille generatrice de l'espace directeur deF, on ne peut pas direc- tement recuperer par echelonnement en lignes une base de l'espace directeur; il faut ou bien proceder deux fois de suite a un tel echelonnement, ou bien utiliser (et une fois sut alors), sa version transposee, c'est-a-dire l'echelonnement en colonnes. 2
1 Matrices echelonnees
A propos des matrices vides
Sinest un entier, on notef1;:::;ngl'ensemble des entiers compris entre 1 etn; il est donc vide des quen= 0. Sinetmsont deux entiers, une matrice de taille (n;m) a coecients dansk est une application (i;j)7!aijdef1;:::;ngf1;:::;mgdansk. Cette denition garde un sens lorsquenoumest nul : l'ensemblef1;:::;ng f1;:::;mgest alors vide, et il existe une et une seule application de l'ensemble vide dansk (et plus generalement dans n'importe quel ensembleE) : c'est l'inclusion, qu'on appelle aussi l'application vide. Cela a donc un sens de parler de matrice de taille (m;n) simounest nul; il existe une et une seule matrice de cette taille, parfois appelee matrice vide. Contrairement a ce que l'on pourrait croire au premier abord, inclure ces etranges bestioles dans la theorie n'a pas pour but de compliquer la vie, mais bel et bien de la simplier. Cela assure par exemple que tous les raisonnements d'algebre lineaire reposant sur des arguments matriciels restent valables m^eme lorsqu'un des espaces en jeu est de dimension nulle, et evite donc des distinctions fastidieuses de cas particuliers le plus souvent triviaux. De m^eme, cela peut permettre, par exemple, au cours d'un raisonnement sur une matrice de taille (n;m) avecn>1, de considerer la sous-matrice de taille (n1;m) obtenue en retirant la premiere ligne, sans avoir a distinguer le cas ounest egal a 1. Nous avons donc choisi, dans ce texte, d'autoriser les matrices de taille (n;m) avecnoumnul. Le lecteur qui n'aime pas ca peut ou bien ne pas y penser { c'est le plus raisonnable {, ou bien supposer quenetmsont strictement positifs, a charge pour lui d'initialiser certaines recurrences an= 1, alors qu'elles demarrent ici an= 0.
Matrices echelonnees
Soientnetmdeux entiers, et soitA2Mn;m(k). On dit queAestechelonnee (selon les lignes)si elle possede les proprietes suivantes : pour touti2 f1;:::;ng, siLi= 0 alorsLj= 0 pour toutj > i; pour touti2 f1;:::;ng, siLi6= 0, son premier coecient non nul est egal a 1, et est appele unpivotde la matriceA; pour touti2 f1;:::;ngtel queLi6= 0 et toutj > ialors ou bienLjest nulle, ou bien le pivot deLjest situestrictement a droitede celui deLi; dans la colonne d'un pivot, tous les termes sont nuls hormis le pivot lui- m^eme. On denit de m^eme la notion de matrice echelonnee selon les colonnes; une matrice est echelonnee selon les lignes si et seulement si sa transposee est echelonnee selon les colonnes. Dans ce qui suit, une matrice echelonnee sera toujours, sauf mention expresse du contraire, echelonnee selon les lignes. 3
Par exemple,
0 B
B@1 2 0 1 0
0 0 13 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 01
C CA est echelonnee; ses pivots sont situes en (1;1), (2;3) et (3;5). SiA= (aij) est une matrice echelonnee, ses lignes non nulles forment une famille libre. En eet, soitIl'ensemble des indices des lignes non nulles deA, et supposons queP
22IiLi= 0. Fixonsi0, et soitjle numero de la colonne
contenant le pivot deLi0. On a en particulierP i2Iiaij= 0. Mais comme tous les termes de la colonnejsont nuls, a part le pivot deLi0qui vaut 1, il vient i0= 0. En consequence, le rang d'une matrice echelonnee est egal au nombre de ses lignes non nulles, c'est-a-dire encore au nombre de ses pivots. Ainsi, la matrice ci-dessus est de rang 3. SoitAune matrice carree de taillen, supposee echelonnee. Elle est de rangn, c'est-a-dire inversible, si et seulement si elle anpivots. Il est immediat, compte- tenu de la denition m^eme d'une matrice echelonnee, que cela se produit si et seulement siA=In. Appelonsoperation elementaire sur les lignes deAune operation de l'un des types suivants :
Li !Lj, aveci6=j;
Li!Liavec2k;
Li!Li+Lj, avecj6=iet2k.
Chacune de ces operations consiste a multiplierAa gauchepar une matrice inversible convenable : celle deduite de l'identite par l'operation consideree. Lemme.SoitA2Mn;m(k). On peut la transformer en une matrice echelonnee par une suite nie d'operations elementaires sur les lignes. Demonstration.La preuve que nous allons donner va essentiellement consis- ter a decrire un algorithme permettant de realiser la reduction souhaitee. On raisonne par recurrence sur le nombremde colonnes.
Sim= 0 la matrice est vide, et donc echelonnee.
Supposonsm >0 et la propriete vraie en rang inferieur. Premier cas.Supposons que la premiere colonne deAest nulle; en vertu de l'hypothese de recurrence, on peut echelonner la matrice (aij)16i6n;26j6m par operations elementaires sur les lignes. Lorsqu'on applique les operations en question aA, on obtient une matrice dont la premiere colonne est nulle, et dont le bloc de droite de taille (n;m1) est echelonne; cette matrice est echelonnee, et la preuve est terminee. Second cas.Supposons qu'il existeitel queai16= 0. Quitte a echangerLiet L
1sii6= 1, on se ramene au cas oua116= 0; puis, en multipliantL1para111,
au cas oua11= 1. Enn, en remplacant pour touti >1 la ligneLiparLiai1L1, on obtient une matrice telle quea11= 1 etai1= 0 pouri >1. 4 SoitBle bloc (aij)26i6n;26j6mdeA. Par l'hypothese de recurrence, on peut echelonnerBpar operations elementaires sur les lignes. En appliquant les operations correspondantes aA, on obtient une matrice de la forme suivante : - son terme en haut a gauche est egal a 1, et est le seul terme non nul de la premiere colonne; - son bloc (n1;m1) en bas a droite est echelonne. La matrice ainsi obtenue n'est pas forcement echelonnee : dans la colonne d'un pivot deBle terme situe sur la premiere ligne deApourrait ^etre non nul.
On y remedie comme suit.
Soienti1;:::;irles numeros (croissants) des lignes deAcomportant un pivot deB; pour tout`2 f1;:::;rgnotonsj`le numero de la colonne deAcontenant le pivot deBsitue surLi`. Faisons subir aAles operationsL1!L1a1j1Li1;L1a1j2Li2, etc. L'operationL1!L1a1j`Li`remplacea1j`par 0, et ne modie aucun des a
1spours < j`puisqueai`s= 0 pour touts < j`. Par consequent, la matrice
Aobtenue au terme de ces transformations est bien echelonnee.
Le noyau d'une matrice echelonnee
SoitAune matrice de taille (n;m) echelonnee. Interpretons-la comme la matrice d'un endomorphisme dekmdanskn, munis de leurs bases canoniques respectives. SoitJl'ensemble des indices des colonnes comportant un pivot et soitJ0son complementaire. Pour toutj2Jon notei(j) la ligne qui contient le pivot de la colonnej. Par denition m^eme d'une matrice echelonnee, le noyauEdeApeut ^etre decrit, en coordonnees dans la base canonique dekm, par le systeme d'equations cartesiennes x j+X `>j;`2J0a i(j)`x`= 0; j2J; soit encore ()xj=X `>j;`2J0a i(j)`x`; j2J: Reconstitution de la matriceAa partir deE.Nous allons expliquer commentApeut ^etre retrouvee en termes des proprietes du sous-espace vectoriel Edekm; il en resultera quedeux matrices echelonnees qui ont m^eme noyau concident. Sim= 0 alorsE=km= 0, la matriceAest necessairement vide, et il n'y a rien a faire. On suppose a partir de maintenant quem >0. Reconstitution de l'ensembleJ.On va en fait reconstituerJ0{ cela revient au m^eme puisqueJest le complementaire deJ0, maisJ0est plus facile a decrire directement. SiSest une partie def1;:::;mgon dira queSestlibre relativement aEsi pour toute famille (aj)j2Sd'elements dekil existe un element (xj)16j6m deEtel quexj=ajpour toutj2S. En vertu de (), l'ensembleJ0peut alors ^etre decrit comme suit, par un procede recursif descendant : 5 l'entiermappartient aJ0si et seulement sifmgest libre relativement a E; pour toutj2 f1;:::;m1gon aj2J0si et seulement si l'ensemble fjg [(fj+ 1;:::;mg \J0) est libre relativement aE. Reconstitution des indicesi(j).Il decoule de la denition d'une matrice echelonnee que le`-ieme element deJ(pour l'ordre usuel sur les entiers) est necessairement situe sur la ligne`, ce qui montre que la fonctionj7!i(j) estquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
Le pivot de Gauss