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IV D

ERIVATION NUMERIQUE

Analyse Numerique

Tronc Commun

Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique1

Un exemple

Calcul approche de la derivee en

12 (a+b). Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique2 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf

0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h

Le calcul de la derivee peut ^etre :

Onereux (expression dicile a evaluer)

Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donnees

experimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple

Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :

f

0(x)f(x+h)f(x)h

jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf

0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h

Le calcul de la derivee peut ^etre :

Onereux (expression dicile a evaluer)

Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donnees

experimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple

Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :

f

0(x)f(x+h)f(x)h

jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf

0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h

Le calcul de la derivee peut ^etre :

Onereux (expression dicile a evaluer)

Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donnees

experimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple

Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :

f

0(x)f(x+h)f(x)h

jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf

0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h

Le calcul de la derivee peut ^etre :

Onereux (expression dicile a evaluer)

Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donnees

experimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple

Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :

f

0(x)f(x+h)f(x)h

jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf

0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h

Le calcul de la derivee peut ^etre :

Onereux (expression dicile a evaluer)

Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donnees

experimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple

Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :

f

0(x)f(x+h)f(x)h

jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf

0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h

Le calcul de la derivee peut ^etre :

Onereux (expression dicile a evaluer)

Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donnees

experimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple

Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :

f

0(x)f(x+h)f(x)h

jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3

Erreur d'arrondi : Un exemple

Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.

Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande

perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4

Erreur d'arrondi : Un exemple

Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.

Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande

perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4

Erreur d'arrondi : Un exemple

Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.

Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande

perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4

Erreur d'arrondi : Un exemple

Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.

Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande

perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4

Erreur d'arrondi : Un exemple

Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.

Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande

perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4

Erreur d'arrondi

Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5

Erreur d'arrondi

Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5

Erreur d'arrondi

Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5

Erreur d'arrondi

Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5

Erreur de troncature

On a par la formule de Taylor (on supposef2 fois contin^ument derivable) : f(x+h) =f(x) +f0(x)h+f00(~x)h22 jx~xj0(x) =f(x+h)f(x)h f00(~x)h2 :L'erreur de troncature pour des petites valeurs dejhjest denie parE t=jhj2 jf00(~x)jAnalyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique6

Erreur de troncature

On a par la formule de Taylor (on supposef2 fois contin^ument derivable) : f(x+h) =f(x) +f0(x)h+f00(~x)h22 jx~xj0(x) =f(x+h)f(x)h f00(~x)h2 :L'erreur de troncature pour des petites valeurs dejhjest denie parE t=jhj2 jf00(~x)jAnalyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique6

Erreur de troncature

On a par la formule de Taylor (on supposef2 fois contin^ument derivable) : f(x+h) =f(x) +f0(x)h+f00(~x)h22 jx~xj0(x) =f(x+h)f(x)h f00(~x)h2 :L'erreur de troncature pour des petites valeurs dejhjest denie parE t=jhj2 jf00(~x)jAnalyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique6

Erreur totale

Elle est denie par

E=Ea+EtAinsi pour notre methode

E= 2f(x)h

+jhj2 jf00(ex)jTh eoremeLa quantite

E= 2f(x)h

+jhj2 jf00(ex)j est minimale pour jhj= 2s f(x)f

00(~x)

:Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique7

Erreur totale

Elle est denie par

E=Ea+EtAinsi pour notre methode

E= 2f(x)h

+jhj2 jf00(ex)jTh eoremeLa quantite

E= 2f(x)h

+jhj2 jf00(ex)j est minimale pour jhj= 2s f(x)f

00(~x)

:Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique7

Erreur totale

Elle est denie par

E=Ea+EtAinsi pour notre methode

E= 2f(x)h

+jhj2 jf00(ex)jTh eoremeLa quantite

E= 2f(x)h

+jhj2 jf00(ex)j est minimale pour jhj= 2s f(x)f

00(~x)

:Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique7

Demonstration

Soit g(s) := 2jf(x)js +s2 jf00(ex)j=as +bs ou a= 2jf(x)j;b=12 jf00(ex)j:Puisqueaetbsont positifs, on a le graphe : Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique8 Th eoremeOn suppose quefest de classeC3et de derivees bornees. Alors on a f0(x)f(x+h)f(xh)2h h26 sup y2Rjf000(y)jEn eet, on a par la formule de Taylor : f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h22 f00(x) +h36 f000();ou2[x;x+h]; f(xh) =f(x)hf0(x) +h22 f00(x)h36 f000();ou2[xh;x]:Donc f

0(x)f(x+h)f(x+h)2h=h212

f000() +f000():Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique11 Th eoremeOn suppose quefest de classeC3et de derivees bornees. Alors on a f0(x)f(x+h)f(xh)2h h26 sup y2Rjf000(y)jEn eet, on a par la formule de Taylor : f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h22 f00(x) +h36 f000();ou2[x;x+h]; f(xh) =f(x)hf0(x) +h22 f00(x)h36 f000();ou2[xh;x]:Donc f

0(x)f(x+h)f(x+h)2h=h212

f000() +f000():Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique11 Th eoremeOn suppose quefest de classeC3et de derivees bornees. Alors on a f0(x)f(x+h)f(xh)2h h26 sup y2Rjf000(y)jEn eet, on a par la formule de Taylor : f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h22 f00(x) +h36 f000();ou2[x;x+h]; f(xh) =f(x)hf0(x) +h22 f00(x)h36 f000();ou2[xh;x]:Donc f

0(x)f(x+h)f(x+h)2h=h212

f000() +f000():Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique11

Derivee seconde

On a f

00(x)f0(x+h2

)f0(xh2 )h 1h f(x+h)f(x)h f(x)f(xh)h f(x+h)2f(x) +f(xh)h

2On montre alors le resultat :

Th eoremeOn suppose quefest de classeC4et de derivees bornees jusqu'a l'ordre4 . Alors on a pour toutx2R, la majoration : f00(x)f(x+h)2f(x) +f(xh)h 2 h212 sup x2Rjf(4)(x)jAnalyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique12

Derivee seconde

On a f

00(x)f0(x+h2

)f0(xh2 )h 1h f(x+h)f(x)h f(x)f(xh)h f(x+h)2f(x) +f(xh)h

2On montre alors le resultat :

Th eoremeOn suppose quefest de classeC4et de derivees bornees jusqu'a l'ordre4 . Alors on a pour toutx2R, la majoration : f00(x)f(x+h)2f(x) +f(xh)h 2 h212 sup x2Rjf(4)(x)jAnalyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique12quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39