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SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE DDEE PPRRÉÉS

S EE NN TT AA TT II OO

NN FFIICCHHEE DDEE PPRRÉÉSSEENN

TT AA TT II OO

NN FFIICCHHEE DDEE PPRRÉÉSSEENNTT

AA TT II OO NN 1/1

OBJECTIF(S)

Résoudre algébriquement un système d'équations du premier degré à deux inconnues.

EXPLICITATION

Être capable à l'issue des travaux de calculer les valeurs numériques des inconnues dans un système ayant un seul couple de solutions par exemple : les valeurs de x et y dans le système : 231

35 21xy

xy les valeurs de d et t dans le système : 90

50 280dt

dt

PRÉ-REQUIS

Maîtriser :

la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue. l'écriture d'un couple de nombres.

CONDITIONS

Traiter la fiche d'entraînement en trois parties. Après chaque partie consulter la fiche auto-corrective.

Première partie : Exercice 1.

Deuxième partie : Exercices 2 et 3.

Troisième partie : Exercices 4 et 5.

CRITÈRES DE RÉUSSITE

Au moins trois réponses exactes dans la partie 3.

CONSEILS

Vérifier vos réponses avant de consulter la fiche auto-corrective.

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMA A TT II OO

NN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN

1/1 Introduction :

Un fleuriste propose deux types de bouquets :

l'un composé de 5 roses jaunes et 4 iris pour 16 €. l'autre composé de 3 roses jaunes et 6 iris pour 15 €.

Pour calculer le prix x en

€ d'une rose et le prix y en € d'un iris, il faut résoudre le système suivant :

5 4 16

3 6 15xy

xy

Mode de résolution :

Par combinaison linéaire (ou addition) :

1

ère

ÉTAPE : Transformer le système pour obtenir deux équations à une inconnue

Éliminer y : Éliminer x :

3 2

5 4 16

3 6 15

xy xy 3 5

5 4 16

3 6 15

xy xy

15 12 48

6 12 30

xy xy 15 12 48

15 30 75xy

xy Additionner les deux équations : Additionner les deux équations :

9 x 18 18 y 27

On obtient deux équations à une inconnue chacune : 9 18

18 27x

y 2 e

ÉTAPE : Résoudre chaque équation

9 x 18 18 y 27

x 18 9 y 27
18 x 2 y 1,5 2 1,5x y 3 e ÉTAPE : Vérification : avec x 2 et y 1,5 Première équation : 5 x 4 y 16 Deuxième équation : 3 x 6 y 15

5 x 4 y 5 2 4 1,5 3 x 6 y 3 2 6 1,5

5 x 4 y 10 6 3 x 6 y 6 9

5 x 4 y 16 3 x 6 y

15 4 e

ÉTAPE : Donner la solution du système

Le couple (x ; y) solution du système est égal à (2 ; 1,5) 5 e

ÉTAPE : Donner la solution du problème

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN

2/2

Le prix d'une rose est 2 €.

Le prix d'un iris est

1,50 €.

Par substitution :

1

ère

ÉTAPE :

Transformer le système pour que l'une des deux équations soit une équation à une inconnue

Exprimer x en fonction de y dans l'équation :

5 4 16

3 6 15xy

xy

5 4 16

3 15 6

xy xy

5 4 16

5 2 xy xy Remplacer (ou substituer) x par l'expression dans l'équation : x 5 2 y 5 (5 2 ) 4 16 5 2 yy xy 2 e ÉTAPE : Résoudre l'équation : 5 (5 2 y) 4 y 16

25 10 4 16

5 2 yy xy

6 16 25

5 2 y xy

6 9

5 2 y xy 1,5 5 2 y xy 3 e ÉTAPE : Résoudre l'autre équation : x 5 2 y Remplacer dans l'expression , y par la valeur trouvée 1,5

5 2 1,5y

x 1,5 5 3 y x 1,5 2y x 4 e ÉTAPE : Vérification : avec x 2 et y 1,5 Première équation : 5 x 4 y 16 Deuxième équation : 3 x 6 y 15

5 x 4 y 5 2 4 1,5 3 x 6 y 3 2 6 1,5

5 x 4 y 10 6 3 x 6 y 6 9

5 x 4 y 16 3 x 6 y 15

5 e

ÉTAPE : Donner la solution du système

Le couple (x ; y) solution du système est égal à (2 ; 1,5) 6 e

ÉTAPE : Donner la solution du problème

Le prix d'une rose est 2 €.

Le prix d'un iris est

1,50 €.

Remarque :

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN

3/3

Dans un système, l'une des inconnues peut être calculée par combinaison linéaire et l'autre par

substitution.

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICC

HH EE DD EE NN TT RR AA NN EE MM EE NN

TT FFIICCHHEE DD''EENNTTRR

AA NN EE MM EE NN

TT FFIICCHHEE

DD EE NN TT RR AA NN EE MM EE NN TT 1/1

1. Résoudre le système en utilisant successivement les deux méthodes (combinaison linéaire et

substitution) : 21
3521
x y x y

Méthode par combinaison linéaire :

Méthode par substitution :

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT

2/2

2. Résoudre par la méthode de combinaison linéaire le système suivant :

3711

525x y

x y

3. Résoudre par la méthode de substitution le système suivant :

418

914x y

x y

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT

3/3

4. Résoudre par la méthode de calcul de votre choix le système suivant :

29
5 x y x y

Méthode choisie : ................................................................................................

5. Problème :

Un groupe de personnes a réservé dans un restaurant.Toutes les tables sont identiques. Si les personnes sont réparties sur 5 tables, il reste 4 personnes non placées. Si les personnes sont réparties sur 6 tables, 2 places sont inoccupées. Pour calculer le nombre t de places à chaque table et le nombre p de personnes du groupe, il faut résoudre le système : 54

62t p

t p

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREE

CC TT II VV EE FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE 1/1 1.

Méthode par combinaison linéaire :

on multiplie tous les termes par 5 on multiplie tous les termes par 121

3521x y

x y on multiplie tous les termes par 3 on multiplie tous les termes par 221

3521x y

x y

10 5 5

35 21xy

xy

13 x 26

63 3

61042x y

x y

13 y 39

13 26 13 39 x y = 2 = 3x y

Méthode par substitution :

Transformation de la première équation :

21

3521x y

x y 21
3521
x y x y On remplace y par son expression dans la deuxième équation : 21

35(21)21x y

x x 21

310521x y x x

21
13 26 x y x 21

2x y

x On remplace x par sa valeur dans la première équation : 221

2 y

x y x 3= =2

Vérification :

223 431

325361521

Réponse : Le couple ( x ; y ) solution du système est égal à ( 2 ; 3 ).

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE

2/2 2. on multiplie tous les termes par 2 on multiplie tous les termes par 73711

525x y

x y on multiplie tous les termes par 5 on multiplie tous les termes par 33711

525x y

x y

614 22

35 14 35xy

xy

41 x 13

15 35 55

15 6 15xy

xy

41 y 70

41 13

41 70x

y 13 =41

70=41x

y Réponse : Le couple ( x ; y ) solution du système est égal à ( 13 41
; 70 41 ).
3.

Transformation de la première équation :

418

914x y

x y 418
914
x y x y On remplace y par son expression dans la deuxième équation : 418

9(4 18) 14x y

x x 418

36 162 14x y

x x 418

37 148

x y x 418
4 x y x On remplace x par sa valeur dans la première équation : 4418

4 y

x 2 = = 4y x Réponse : Le couple ( x ; y ) solution du système est égal à ( 4 ; 2 ).

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1

er

DEGRÉ À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE FFIICCHHEE AAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE

3/3 4.

Méthode par combinaison linéaire :

29
5x y x y 2 x 34 29
5 x y x y 2 y 24
234
224x
y 17 12 x y

Méthode par substitution :

29
5x y x y 29
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