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juil JURY Mme Marie Jeanne PERRIN Professeur des Universités Présidente IUFM Nord Pas de Calais M Yves CHEVALLARD Professeur
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5ème C IE 4 : initiation au raisonnement déductif 2007-2008 A
11. Voici un énoncé mathématique :
" Si un nombre est divisible par 4 et par 6 alors il est toujours divisible par 24 »- Claude : " J"ai essayé avec 48 : 48 est divisible par 4, 48 est divisible par 6, il est bien divisible par 24. J"ai
essayé avec 72 : 72 est divisible par 4, 72 est divisible par 6, il est bien divisible par 24. C"est donc vrai »
- Dominique : " C"est faux. il y a un contre-exemple : 12 : 12 est divisible par 4 et par 6 et pourtant il n"est
pas divisible par 24 »- Stéphanie : " C"est des fois vrai, des fois faux. Par exemple, avec 48 c"est vrai. 12 est divisible par 4 et par
6 et pourtant il n"est pas divisible par 24 »
Qui a raison, qui a tort ? Justifie la réponse.2. Voici un énoncé : " Quel que soit le nombre choisi, s"il est divisible par 9 alors il est divisible par 6 ».
a) Pour chacune des phrases suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse. (1) " Il est divisible par 6 » est la conclusion de l"énoncé. (2) 18 est un nombre qui vérifie la condition de l"énoncé. (3) 13 est un contre-exemple de l"énoncé. (4) 36 est un contre-exemple de l"énoncé. (5) 27 est un contre-exemple de l"énoncé. b) L"énoncé est-il vrai ou faux ?3. Préciser en justifiant pour chacun des énoncés ci-dessous s"il est vrai ou faux. Puis écrire leur réciproque
et préciser en justifiant si elle est vraie ou fausse.1. Quel que soit le nombre choisi, s"il est inférieur à 87 alors il est inférieur à 85.
2. Quel que soit le rectangle choisi, si sa longueur est de 4 cm et sa largeur de 3 cm alors son aire
est de 12 cm².4. Compléter les chaînons déductifs suivants :
On sait que (AB) // (CD) et (AB)
^(EF). Si ....... donc ......5. Appliquer le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Ajouter 3 à ce nombre.
Multiplier le résultat par 2.
Retrancher 6 à ce résultat
Enfin retrancher le nombre choisi au départ.
Appliquer ce programme à trois nombres. Que remarque-t-on ? Est-ce toujours vrai ? Justifier. Barème : Exercice 1 : 3 points Exercice 2 : 4 points Exercice 3 : 6 pointsExercice 4 : 3 points Exercice 5 : 4 points
5ème C IE 4 : initiation au raisonnement déductif 2007-2008 B
21. Voici un énoncé mathématique : " ABC est un triangle isocèle en A et ACD un triangle équilatéral. Quel
que soit le triangle ABC choisi au départ, on a AB = CD.- Florian : " C"est vrai. J"ai fait la figure et j"ai mesuré les segments [AB] et [CD], ils sont de même
longueur. »- Axelle : " ABC est un triangle isocèle en A donc AB = AC. De plus ACD est un triangle équilatéral donc
AC = CD, donc AB = CD. Donc l"énoncé est vrai.» Qui a raison, qui a tort ? Justifie la réponse. 2.Voici un énoncé : " Quel que soit le nombre choisi, s"il est divisible par 9 alors il est divisible par 6 ».
a) Pour chacune des phrases suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse. (1) " Il est divisible par 6 » est la condition de l"énoncé. (2) 18 est un nombre qui vérifie la conclusion de l"énoncé. (3) 36 est un contre-exemple de l"énoncé. (4) 27 est un contre-exemple de l"énoncé. (5) 17 est un contre-exemple de l"énoncé. b) L"énoncé est-il vrai ou faux ?3. Préciser en justifiant pour chacun des énoncés ci-dessous s"il est vrai ou faux. Puis écrire leur réciproque
et préciser en justifiant si elle est vraie ou fausse.1. Quel que soit le nombre choisi, s"il est inférieur à 55 alors il est inférieur à 60.
2. Quel que soit le carré choisi, si la longueur de son côté est de 4 cm alors son aire est de 8 cm².
4. ABCD est un losange ; prouver que ABC est un triangle isocèle.
5.Appliquer le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Ajouter 4 à ce nombre.
Multiplier le résultat par 3.
Retrancher 12 à ce résultat
Enfin retrancher le double du nombre choisi au départ. Appliquer ce programme à trois nombres. Que remarque-t-on ? Est-ce toujours vrai ? Justifier. Barème : Exercice 1 : 3 points Exercice 2 : 4 points Exercice 3 : 6 pointsExercice 4 : 3 points Exercice 5 : 4 points
5ème C IE 4 : initiation au raisonnement déductif 2007-2008 A
CORRECTION
31. Voici un énoncé mathématique :
" Si un nombre est divisible par 4 et par 6 alors il est toujours divisible par 24 »- Claude : " J"ai essayé avec 48 : 48 est divisible par 4, 48 est divisible par 6, il est bien divisible par 24. J"ai
essayé avec 72 : 72 est divisible par 4, 72 est divisible par 6, il est bien divisible par 24. C"est donc vrai »
- Dominique : " C"est faux. il y a un contre-exemple : 12 : 12 est divisible par 4 et par 6 et pourtant il n"est
pas divisible par 24 »- Stéphanie : " C"est des fois vrai, des fois faux. Par exemple, avec 48 c"est vrai. 12 est divisible par 4 et par
6 et pourtant il n"est pas divisible par 24 »
Qui a raison, qui a tort ? Justifie la réponse.Claude a tort : des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas à montrer que cet énoncé est vrai
Dominique a raison : il a fourni un contre-exemple valide. Stéphanie a tort : un énoncé est soit vrai soit faux.2. Voici un énoncé : " Quel que soit le nombre choisi, s"il est divisible par 9 alors il est divisible par 6 ».
a) Pour chacune des phrases suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse. (1) " Il est divisible par 6 » est la conclusion de l"énoncé. Vrai (2)18 est un nombre qui vérifie la condition de l"énoncé. Vrai
(3)13 est un contre-exemple de l"énoncé. Faux
(4)36 est un contre-exemple de l"énoncé. Faux
(5)27 est un contre-exemple de l"énoncé. Vrai
b) L"énoncé est-il vrai ou faux ? L"énoncé est faux car 27 est un contre-exemple.3. Préciser en justifiant pour chacun des énoncés ci-dessous s"il est vrai ou faux. Puis écrire leur réciproque
et préciser en justifiant si elle est vraie ou fausse.1. Quel que soit le nombre choisi, s"il est inférieur à 87 alors il est inférieur à 85.
Faux car 86 est un contre-exemple.
Réciproque : Quel que soit le nombre choisi, s"il est inférieur à 85 alors il est inférieur à 87.
Cet énoncé est vrai car 85 < 87
2. Quel que soit le rectangle choisi, si sa longueur est de 4 cm et sa largeur de 3 cm alors son aire
est de 12 cm². Vrai d"après la formule de calcul de l"aire d"un rectangle.Réciproque : Quel que soit le rectangle choisi, si son aire est de 12 cm² alors sa longueur est de 4 cm et
sa largeur est de 3 cm.Cet énoncé est faux.
Contre-exemple : un rectangle de dimension 6 cm par 2 cm4. Compléter les chaînons déductifs suivants :
On sait que (AB) // (CD) et (AB)
^(EF).Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l"une alors elle est perpendiculaire à
l"autre.Donc (EF)
^(CD)5. Appliquer le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Ajouter 3 à ce nombre.
Multiplier le résultat par 2.
Retrancher 6 à ce résultat
Enfin retrancher le nombre choisi au départ.
Appliquer ce programme à trois nombres. Que remarque-t-on ? Est-ce toujours vrai ? Justifier.5ème C IE 4 : initiation au raisonnement déductif 2007-2008 A
CORRECTION
4Soit x le nombre choisi.
Ajouter 3 à ce nombre. :
x + 3Multiplier le résultat par 2. :
( 3) 2x+ ´Retrancher 6 à ce résultat
( 3) 2 6x+ ´ -Enfin retrancher le nombre choisi au départ.
( 3) 2 6x x+ ´ - -Simplifions l"expression :
( 3) 2 6 2 6 6x x x x x+ ´ - - = + - - = Donc quel que soit le nombre choisi, on obtient le nombre de départ.5ème C IE 4 : initiation au raisonnement déductif 2007-2008 B
CORRECTION
51. Voici un énoncé mathématique : " ABC est un triangle isocèle en A et ACD un triangle équilatéral. Quel
que soit le triangle ABC choisi au départ, on a AB = CD.- Florian : " C"est vrai. J"ai fait la figure et j"ai mesuré les segments [AB] et [CD], ils sont de même
longueur. »- Axelle : " ABC est un triangle isocèle en A donc AB = AC. De plus ACD est un triangle équilatéral donc
AC = CD, donc AB = CD. Donc l"énoncé est vrai.» Qui a raison, qui a tort ? Justifie la réponse.On se rappelle qu"une mesure ne peut servir à montrer qu"un énoncé de géométrie est vrai. Donc Florian a
tort.Par contre, Axelle a raison, son raisonnement s"appuie sur des définitions mathématiques et non sur des
mesures. 2.Voici un énoncé : " Quel que soit le nombre choisi, s"il est divisible par 9 alors il est divisible par 6 ».
a) Pour chacune des phrases suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse. (1) " Il est divisible par 6 » est la condition de l"énoncé. Faux : c"est la conclusion (2)18 est un nombre qui vérifie la conclusion de l"énoncé. Vrai
(3)36 est un contre-exemple de l"énoncé. Faux
(4)27 est un contre-exemple de l"énoncé. Vrai
(5)17 est un contre-exemple de l"énoncé. Faux
b) L"énoncé est-il vrai ou faux ? L"énoncé est faux : 27 est un contre-exemple. 3.Préciser en justifiant pour chacun des énoncés ci-dessous s"il est vrai ou faux. Puis écrire leur réciproque
et préciser en justifiant si elle est vraie ou fausse. 1. Quel que soit le nombre choisi, s"il est inférieur à 55 alors il est inférieur à 60. 2.Quel que soit le carré choisi, si la longueur de son côté est de 4 cm alors son aire est de 8 cm².
1 Vrai car 55 < 60 Réciproque : Quel que soit le nombre choisi, s"il est inférieur à 60 alors il est inférieur à 55
Faux : 58 est un contre exemple car 58 < 60 mais 58 > 55 2Faux, l"aire d"un carré de 4 cm de côté est 16 cm² Réciproque : Quel que soit le carré choisi, si son aire est de 8 cm² alors la longueur de son côté est de
4 cm. Faux : la longueur du côté d"un carré d"aire 8 cm² est comprise entre 2 et 3.