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0 5 10 15 x yPrincipes et Méthodes Statistiques
Notes de cours
Olivier Gaudoin
2
Table des matières
1 Introduction 7
1.1 Définition et domaines d"application de la statistique . . . . . . . . . . . 7
1.2 La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Objectifs et plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Statistique descriptive 13
2.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1.1. Variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1.2. Variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2.1. Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2.2. Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2.3. Les graphes de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Indicateurs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Indicateurs de localisation ou de tendance centrale . . . . . . . . 25
2.3.1.1. La moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1.2. Les valeurs extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1.3. La médiane empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1.4. Caractérisation des indicateurs de localisation . . . . . . . 27
2.3.2 Indicateurs de dispersion ou de variabilité . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2.1. Variance et écart-type empiriques . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2.2. Les quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Estimation ponctuelle 33
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Méthodes d"estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Définition d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 La méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2.1. L"estimateur des moments (EMM) . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 La méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3.1. La fonction de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3.2. Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 TABLE DES MATIÈRES
3.2.3.3. L"estimateur de maximum de vraisemblance (EMV) . . . . 37
3.2.3.4. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Qualité d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Estimateur sans biais et de variance minimale (ESBVM) . . . . . 40
3.3.2 Convergences, théorème central-limite, loi des grands nombres . 42
3.3.3 Quantité d"information, efficacité d"un estimateur . . . . . . . . . 43
3.4 Propriétés des EMM et des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Propriétés des estimateurs des moments . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Propriétés des estimateurs de maximum de vraisemblance . . . . 47
3.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Intervalles de confiance 49
4.1 Problématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Intervalles de confiance pour les paramètres de la loi normale . . . . . . 50
4.2.1 Intervalle de confiance pour la moyenne . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2 Intervalle de confiance pour la variance . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Intervalle de confiance pour une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Tests d"hypothèses 59
5.1 Introduction : le problème de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Formalisation du problème de test paramétrique sur un échantillon . . . 62
5.2.1 Tests d"hypothèses simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.2 Tests d"hypothèses composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Tests sur la moyenne d"une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.1 Exemple introductif : essais thérapeutiques . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.2 Première idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.3 Deuxième idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.4 Troisième idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.6 La p-valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.8 Les tests de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Lien entre tests d"hypothèses et intervalles de confiance . . . . . . . . . . 69
5.5 Procédure pour construire un test d"hypothèses . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Tests sur la variance d"une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Tests sur une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.8 Le test duχ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 La régression linéaire 77
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Le modèle de régression linéaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Estimation par la méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Le modèle linéaire simple gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4.1 Définition du modèle et estimation des paramètres . . . . . . . . 85
TABLE DES MATIÈRES 5
6.4.2 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.3 Intervalles de confiance et tests d"hypothèses . . . . . . . . . . . . 87
6.5 Etude complète de l"exemple enR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Annexe A : Bases de probabilités pour la statistique 95
7.1 Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.1 Loi de probabilité d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.2 Variables aléatoires discrètes et continues . . . . . . . . . . . . . . 96
7.1.3 Moments et quantiles d"une variable aléatoire réelle . . . . . . . . 97
7.2 Vecteurs aléatoires réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.1 Loi de probabilité d"un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.2 Espérance et matrice de covariance d"un vecteur aléatoire . . . . 99
7.3 Lois de probabilité usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.2 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.5 Loi gamma et loi du chi-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.7 Lois de Student et de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Annexe B : Lois de probabilité usuelles 103
8.1 Caractéristiques des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1.1 Variables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1.2 Variables aléatoires réelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.1.3 Vecteurs aléatoires dans IN
det dans IRd. . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Tables de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2.1 Table 1 de la loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2.2 Table 2 de la loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.3 Table de la loi duχ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.2.4 Table de la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.5 Tables de la loi de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Exemples de représentations de probabilités et de densités . . . . . . . . 112
8.3.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9 Annexe C : Introduction àR121
9.1 Les bases deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2 Commandes pour les deux premiers TD enR. . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.3 Quelques commandes utiles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.4 Lois de probabilité usuelles enR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.5 Principaux tests d"hypothèses enR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.6 Graphiques dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.6.1 Graphique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 TABLE DES MATIÈRES
9.6.2 Autres fonctions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.6.3 Paramétrage de la commande plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Bibliographie 129
Chapitre 1
Introduction
1.1 Définition et domaines d"application de la statistique
Lastatistiqueest la science dont l"objet est de recueillir, de traiter et d"analyser des donnéesissues de l"observation de phénomènesaléatoires, c"est-à-dire dans lesquels le hasard intervient.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Principes et Méthodes Statistiques