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Mathématiques pour l'OptimisationLP SIL

I. Sau et C. Molle

Plan du cours

Séance 1 : Introduction à l'Optimisation, Mod

élisation de problèmes en Programmation Lin

éaire, et Résolution graphiqueS

éance 2 : Algorithme du Simplexe

S

éance 3 : Notion d'optimalité et Dualité

Introduire les différents aspects de l'optimisation dans le cadre de l'optimisation lin

éaire.Pr

ésenter les outils et les algorithmes de base en optimisation lin

éaire :Apprendre comment mod

éliser un problème touchant divers domaines. Savoir r ésoudre un problème simple d'optimisation lin

éaire sous contraintes.Objectifs

Introduction à l'OptimisationD

ÉFINITIONSApplication de m

éthodes, techniques, instruments scientifiques pour mod éliser et résoudre les problèmes dans tous les domaines. Approche g énéraliste qui relève des sciences de la d écision et qui combine :savoirfaire pratique (comment formuler un probl

ème d'optimisation, comment r

ésoudre un problème à l'aide d'algorithmes num

ériques)connaissances th

éoriques (comment caractériser les solutions optimales, que nous apprennent les conditions d'optimalit

é sur les propri

étés qualitatives et quantitatives des solutions) Introduction à l'OptimisationAPPLICATIONS Applications aux probl

èmes réels de grande envergure

arriv

ée des processeurs rapidesd

éveloppement des bases de donnéestechniques d 'optimisation appliqu ées à de nombreux domaines Domaines d'utilisation : militaire transport (a éroport, route, trajet, livraison, horaire)contr ôle des réseaux (infrastructures, distribution) etc.

Problème du sac à dosDonn

ées :

un sac

à dos de poids15 kg

12 objets ayant chacun : un poids une valeur Objectif : quelles objets choisir afin de maximiser la valeur emport

ée tout en ne d

épassant pas les 15 kg autoris

és ?

Ordonnancement

Objectif : affecter les tâches aux machines de mani ère à minimiser le temps utiliséIci, les 8 t

âches sont accomplies au bout de 7 unit

és de temps sur 3 machines.3 machines

8 t

âchesChaque t

âche utilise x unit

és de temps

Ordonnancement

et là, les 8 tâches sont accomplies au bout de 6,5 unit

és de temps : OPT ? Il y a m^n possibilités

Conception de réseauDonn

ées :

villes (A, B ...), matrice de trafic, matrice de distance, fibre optique : I, : cap. 16, co

ût 100,II : cap. 32, co

ût 175,Objectif : Installer un

r

éseau de coût minimum é

coulant tout le trafic.

Conception de réseau

Conception de réseau

Problèmes DifficilesObjectif : Minimiser ou Maximiser une fonction de co ûtChoisir la meilleure solution parmi 2n ou n! possibles : on ne peut les

énumérer toutesComplexit

é des problèmes (voir cours Algo et Complexit é) : P, NP, NPCompletLa plupart des probl èmes étudiés sont NPComplets : on cherche des approximations Trouver une solution : certifier sa qualit

é par rapport à la solution optimale OPT

Sinon on peut utiliser des (meta) heuristiques

La Programmation LinéaireyProbl

ème d'optimisation consistant à :maximiser (ou minimiser) une fonction objectif lin

éaire de n variables de d

écisionsoumises

à un ensemble de contraintes exprim

ées sous forme d'équations ou d'in

équations linéairesyLa terminologie est due

à George B. Dantzig, inventeur de l'algorithme du simplexe (1947)

Mise en forme MathématiqueD

éfinir les variables de décisionensemble des variables qui r égissent la situation à modéliservariables r

éelles, entières, binairesPr

éciser la fonction objectif

fonction math ématique composée des variables de décision qui repr ésente le modèle physique modéliséfonction lin

éairePr

éciser les contraintes du problèmeensemble des param ètres qui limitent le modèle réalisableé quations ou inéquations composées des variables de décisionPr éciser les paramètres du modèleconstantes associ ées aux contraintes et à la fonction objective Formulation mathématiqueFonction Objectif Maximiser ou minimiser z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn Contraintes a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn (£, =, ³) b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn (£, =, ³) b2 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn (£, =, ³) bm Contraintes de nonn égativitéxj ³ 0 ; j = 1, 2, 3, ... n avec xj variables de d

écision (inconnues)aij, bi, cjparam

ètres du programme linéaire

Terminologie de la solution

Solution réalisableSolution o ù toutes les contraintes du modèle sont satisfaites Zone de solution Ensemble de toutes les solutions r

éalisablesSolution optimale

Solution r éalisable où la fonction objectif atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum Plusieurs solutions optimales possibles

Terminologie du problèmeProbl

ème irréalisables'il n'admet pas de solutions r

éalisablesProbl

ème non bornési aucune des solutions r

éalisables n'est optimaleProbl

ème sous forme standardMax (c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn) ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + ainxn £ bi; i = 1, 2, 3, ... m xj ³ 0 ; j = 1, 2, 3, ... n

Exemple

MAX: 350X1 + 300X2

T.Q.:1X1 + 1X2 <= 200

9X1 + 6X2 <= 1566

12X1 + 16X2 <= 2880

X1 >= 0

X2 >= 0

Solution RéalisablePosons X2 = 0

1

ère contrainte :1X1 <= 200

2

è contrainte :9X1 <=1566 ou X1 <=174

3

è contrainte :12X1 <= 2880 ou X1 <= 240

Si X2=0, la valeur maximale de X1 est 174 et la

valeur de l'objective est: (350 * 174) + (300 * 0) = 60 900 C'est une solution possible mais estelle optimale? Non!

Résolution problème PL: approche graphique

Les contraintes d'un programme lin

éaire définissent une zone de solution.

Le meilleur point dans la zone de solution correspond

à la solution optimale.

Pour des probl

èmes à 2 variables, il est facile de tracer la zone de solution et de trouver la solution optimale

graphiquement. X2 X1250 200
150
100
50
0

0 50100150200250(0, 200)

(200, 0)X1 + X2 = 200Tracé de la première contrainte X2 X1250 200
150
100
50
0

0 50100150200250(0, 261)

(174, 0)9X1 + 6X2 = 1566Tracé de la deuxième contrainte X2 X1250 200
150
100
50
0

0 50100150200250(0, 180)

(240, 0)12X1 + 16X2 = 2880 Zone de solutionTracé de la troisième contrainte X2 X1250 200
150
100
50
0

0 50100150200250(0, 116.67)

(100, 0)Fonction objectif

350X1 + 300X2 = 35000Tracé d'une droite de la fonction objectif

X2 X1250 200
150
100
50
0

0 50100150200250(0, 175)

(150, 0)Fonction objectif

350X1 + 300X2 = 35000Un deuxième tracé de la fonction objectifFonction objectif

350X1 + 300X2 = 52500

X2 X1250 200
150
100
50
0

0 50100150200250Fonction objectif

350X1 + 300X2 = 35000Tracé de la solution optimaleFonction objectif

350X1 + 300X2 = 52500Solution optimale

Calcul de la solution optimale

La solution optimale se trouve à l'intersection des contraintes :

X1 + X2 = 200 (1)

9X1 + 6X2 = 1566 (2)

De (1) nous avons:

X2 = 200 X1(3)

En substituant (3) pour X2 dans (2) nous avons:

9X1 + 6 (200 X1) = 1566

ce qui fait X1 = 122

Calcul de la solution optimale

La solution optimale est :

X1 = 122

X2 = 200X1=78

Objective = (350*122) + (300*78) = 66 100

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