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Mathématiques pour physiciens - lpthe

Formation Interuniversitaire de Physique

Annee 2013-2014

Mathematiques pour physiciens

Jean-Bernard Zuber

Figure1 {

6 mathematiciens qui ont laisse des contributions fondamentales dans le sujet de ce cours.

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) et (Jean-Baptiste) Joseph Fourier (1768 - 1830); Simeon Denis Poisson (1781 - 1840) et Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857); Henri Lebesgue (1875 - 1941) et Laurent Schwartz (1915 - 2002)

J.-B. Z L3 FIP 201330 janvier 2014

Bibliographie

[1] W alterApp el,Mathematiques pour la physiqueet les physiciens!, H& KEditions [2] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Cours et Exercices, de Broeck, 2011 [3] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Exercices corriges, de Broeck, 2013 [4] Henr iCartan, Theorie elementaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Hermann 1961 [5] Jac quesGapaillard, Integration pour la licence, Dunod 2002 [6]

Joh nLamp erti,Probability, Benjamin 1966

[7] W. Rudin, Analyse reelle et complexe, Masson 1977. [8] Lau rentSc hwartz,Methodes mathematiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965. [9] Lau rentSc hwartz,Theorie des distributions, Hermann, 1966. [10] La urentSc hwartz,Analyse I. Topologie Generale et Analyse Fonctionnelle, Hermann, 1991. Parmi ces ouvrages, certains sont ecrits dans un esprit assez proche de celui du present cours, en particulier [1], dont je me suis beaucoup inspire. Le lecteur trouvera d'innombrables applications et exercices dans [2] et [3]. ii BIBLIOGRAPHIE

Plan du cours

{1 Rappels, convergence, series, fonctions 1 cours {2 Integration 2 cours {3 Distributions 112 cours {4 Transformation de Fourier 112 cours {5 Probabilites 212 cours {6 Series entieres. Fonctions d'une variable complexe 1 cours {7 Fonctions holomorphes. Theoreme de Cauchy 212 cours {8 Fonctions de variables complexes, applications 112 cours {9 Transformation de Laplace 112 cours {10 Aspects de la theorie des groupes 1 cours

Table des matieres

1 Rappels, convergence, series, fonctions 1

1.1 Topologie de la droite reelle (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Suites convergentes. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Ouverts, fermes. Points d'accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Les deux proprietes fondamentales deR. . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Bribes de topologie generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Petit glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Suites convergentes, suites de Cauchy dans un espace norme . . . . . . .

1.3 Suites et series de fonctions. Convergence simple, uniforme, en norme. . . . . . .

1.3.1 Convergence d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Continuite d'une limite de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Derivabilite d'une limite de fonctions derivables. . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Integrabilite d'une limite de fonctions integrables. . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Series. Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Integration 17

2.1 Integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Rappels sur l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Integrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Problemes avec l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Integrale de Lebesgue. Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Idee intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Mesure (Bribes de theorie de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Retour a l'integrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Integrales de Lebesgue surR2ouRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 6

iv TABLE DES MATI ERES

2.2.5 EspacesLpetLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.2.6 Comparaison entre integrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . .

2.3 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Distributions 35

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Distributions de charges electriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Diusion coherente par un reseau. Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Choc elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Denitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Espace des fonctions-tests. Denition des distributions. . . . . . . . . . .

3.3 Operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Translation, dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Derivation d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Distribution delta et distributions reliees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Fonction de Heaviside, fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3sur une courbe, une surface, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.5 Produit de distributions. Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Exemple : Fonction de Green et potentiel de Coulomb en dimensiond. . . . . .51

4 Transformation de Fourier 55

4.0 Preambule physique.

Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

4.1 Series de Fourier. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Transformation de Fourier dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

4.2.1 Denition. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Existence et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Autres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.4 Transformation de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

4.2.5 Transformation de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.6 Diraction par une fente, par un reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Transformees de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Probabilites 71

5.1 Evenements. Espace des epreuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

5.2 Probabilites et mesure. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATI

ERESv

5.2.1 Axiomes de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2 Probabilite conditionnelle.

Evenements independants . . . . . . . . . . .73

5.3 Variables aleatoires. Distributions de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Denition d'une variable aleatoire; loi de probabilite . . . . . . . . . . .

5.3.2 Les quantites et fonctions importantes attachees a une v.a. . . . . . . . .

5.3.3 Plusieurs variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Changement de variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.5 Fonction caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Distributions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.1 Distribution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.2 Distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.3 Distribution normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.4 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.5 Quelques autres lois rencontrees dans les sciences naturelles . . . . . . . .

5.4.6 Limites de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.7 Quelques exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 00

5.5.1 Convergence presque s^urement, convergence en probabilite, convergence

en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

5.5.3 Theoreme limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

5.5.4 Marche aleatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

6 Series entieres. Fonctions analytiques 115

6.1 Series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

6.1.1 Series formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

6.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

6.1.3 Continuite, integrabilite et derivabilite de la somme . . . . . . . . . . . .

118

6.1.4 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

6.2 Les fonctions exp et log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

6.3 Series de Taylor. Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

6.3.1 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

6.3.2 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

6.3.3 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

6.4 Lacunes de ce chapitre... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

6.4.1 Series divergentes. Series asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125
vi TABLE DES MATI ERES

6.4.2 Produits innis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

7 Fonctions holomorphes. Theoreme de Cauchy 127

7.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

7.1.1 Rappel : fonctions dierentiables deRndansRp. . . . . . . . . . . . . .127

7.1.2 Holomorphie. Conditions de Cauchy{Riemann . . . . . . . . . . . . . . .

128

7.1.3 Derivations@,@. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

7.2 Integrales sur des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

7.2.1 Chemins et lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

7.2.2 Integrales de formes sur des chemins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

7.2.3 Integration sur des chemins dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

7.3 Theoreme de Cauchy et consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 39

7.3.1 Theoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

7.3.2 Integrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

7.4 Autres proprietes des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 41

7.4.1 Fonctions holomorphes et fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . .

141

7.4.2 Fonctions entieres. Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

7.5 Zeros et singularites des fonctions de variable complexe . . . . . . . . . . . . . .

143

7.5.1 Zeros d'une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

7.5.2 P^oles, singularites essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

7.5.3 Series de Laurent. Fonctions meromorphes. Residus . . . . . . . . . . . .

145

8 Fonctions de variables complexes, applications 153

8.1 Calcul d'integrales, de transformees de Fourier, de sommes etc . . . . . . . . . .

153

8.1.1 Calcul pratique des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

8.1.2 Lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

8.1.3 Integrales sur l'axe reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

8.1.4 Integrales de fractions rationnelles trigonometriques . . . . . . . . . . . .

155

8.1.5 Transformees de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

8.1.6 Sommes innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

8.1.7 Integrales sur un arc. P^oles sur l'axe reel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

8.2 Fonctions multivaluees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 58

8.2.1 Points de branchement, feuillets, surface de Riemann . . . . . . . . . . .

158

8.2.2 Integrales de Cauchy de fonctions multivaluees . . . . . . . . . . . . . . .

161

8.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

8.4 Methode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

TABLE DES MATI

ERESvii

8.4.1 Methode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

8.4.2 Commentaires et variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

8.4.3 Fonction . Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

9 Transformation de Laplace 169

9.1 Denitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

9.1.1 Abscisse de sommabilite et transformee de Laplace . . . . . . . . . . . .

169

9.1.2 Holomorphie de

^f, etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

9.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Annee 2013-2014

Mathematiques pour physiciens

Jean-Bernard Zuber

Figure1 {

6 mathematiciens qui ont laisse des contributions fondamentales dans le sujet de ce cours.

J.-B. Z L3 FIP 201330 janvier 2014

Bibliographie

Joh nLamp erti,Probability, Benjamin 1966

Plan du cours

Table des matieres

1 Rappels, convergence, series, fonctions 1

1.1 Topologie de la droite reelle (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Suites convergentes. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Ouverts, fermes. Points d'accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Les deux proprietes fondamentales deR. . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Bribes de topologie generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Petit glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Suites convergentes, suites de Cauchy dans un espace norme . . . . . . .

1.3 Suites et series de fonctions. Convergence simple, uniforme, en norme. . . . . . .

1.3.1 Convergence d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Continuite d'une limite de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Derivabilite d'une limite de fonctions derivables. . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Integrabilite d'une limite de fonctions integrables. . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Series. Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Integration 17

2.1 Integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Rappels sur l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Integrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Problemes avec l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Integrale de Lebesgue. Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Idee intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Mesure (Bribes de theorie de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Retour a l'integrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Integrales de Lebesgue surR2ouRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 6

2.2.5 EspacesLpetLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.2.6 Comparaison entre integrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . .

2.3 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Distributions 35

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Distributions de charges electriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Diusion coherente par un reseau. Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Choc elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Denitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Espace des fonctions-tests. Denition des distributions. . . . . . . . . . .

3.3 Operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Translation, dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Derivation d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Distribution delta et distributions reliees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Fonction de Heaviside, fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3sur une courbe, une surface, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.5 Produit de distributions. Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Exemple : Fonction de Green et potentiel de Coulomb en dimensiond. . . . . .51

4 Transformation de Fourier 55

4.0 Preambule physique.

4.1 Series de Fourier. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Transformation de Fourier dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

4.2.1 Denition. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Existence et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Autres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.4 Transformation de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

4.2.5 Transformation de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.6 Diraction par une fente, par un reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Transformees de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Probabilites 71

5.2 Probabilites et mesure. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATI

5.2.1 Axiomes de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2 Probabilite conditionnelle.

Evenements independants . . . . . . . . . . .73

5.3 Variables aleatoires. Distributions de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Denition d'une variable aleatoire; loi de probabilite . . . . . . . . . . .

5.3.2 Les quantites et fonctions importantes attachees a une v.a. . . . . . . . .

5.3.3 Plusieurs variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Changement de variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .