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FONCTIONS NUMERIQUES

PROPORTIONNALITE

I DEFINITION

En français, dans une phrase du type " la taille est fonction de l'âge », " est fonction de » signifie " dépend

de ».

En mathématiques la notion de fonction intervient également pour exprimer un lien entre deux quantités mais

une condition doit être vérifiée : SOIT X ET Y DEUX QUANTITES. DEFINIR UNE FONCTION QUI A X ASSOCIE Y C'EST DONNER UN PROCEDE QUI PERMET, SI X EST CONNU ET SI Y EXISTE, DE DETERMINER Y DE

FACON UNIQUE. (on note une telle fonction x y et si on appelle f cette fonction on pourra écrire y = f(x)).

Très souvent le procédé qui permettra de calculer y sera une formule mathématique (ou plusieurs formules

mathématiques à condition que soit clairement précisée quelle formule on doit employer selon l'intervalle auquel

appartient x)

Exemple : Un représentant reçoit mensuellement un fixe de 800 € et une commission égale à 10% des ventes réalisées à condition que celles-ci dépassent 3000 € . Si on note x le montant des ventes mensuelles réalisées par le représentant et y la valeur de son salaire mensuel en francs alors y est fonction de x et on a :

II REPRESENTATION GRAPHIQUE :

Soit une fonction qui à x associe y. A chaque valeur de x pour laquelle y existe on peut faire correspondre un point

d'abscisse x et d'ordonnée y dans un repère bien choisi (se donner un repère c'est se donner deux axes gradués).

L'ensemble de tous les points obtenus s'appelle la représentation graphique de la fonction.

Exemple :

Reprenons l'exemple précédent. La représentation de la fonction qui à x associe y est :

CAS PARTICULIERS QU'IL FAUT BIEN CONNAITRE :

1°) Si y=ax alors la fonction qui à x associe y est appelée fonction linéaire et sa représentation graphique

est une droite qui passe par l'origine du repère. C'est un type de fonction particulièrement important car on verra

que ceci correspond au cas où la quantité y est proportionnelle à la quantité x, a étant le coefficient de

proportionnalité.

2°) Si y=ax+b alors la fonction qui à x associe y est appelée fonction affine et sa représentation graphique

est une droite.

Remarques :

si b=0 on retrouve y=ax donc les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines

y est la somme d'une quantité b fixe et d'une quantité ax proportionnelle à x.

sauf dans le cas où b=0, y n'est pas proportionnelle à x mais les variations de y sont proportionnelles aux

variations de x.

Dominique Pernoux

http://pernoux.perso.wanadoo.fr

III PROPORTIONNALITE (" théorie »)

1°) DEFINITION et PROPRIETES

Soit x une quantité variable et f une fonction qui à x associe la quantité y ( Exemple 1 : x est la durée du travail en

heures de M. Dupont et y est le salaire en francs de M. Dupont - Exemple 2 : x est l'âge de M. Dupont et y est le

" poids » de M. Dupont). ON DIT QUE LA QUANTITE y EST PROPORTIONNELLE A LA QUANTITE X SI ON PEUT TROUVER UN N O

MBRE a FIXE tel que y = ax

a est appelé alors coefficient de proportionnalité et la fonction qui à x associe y, qui vaut ax, est appelée fonction

linéaire. Remarque : x est proportionnel à y (coefficient de proportionnalité : 1/a). Voir aussi : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/affine.htm (page avec applet java)

Dominique Pernoux

http://pernoux.perso.wanadoo.fr

Exemple de grandeurs proportionnelles :

Le salaire (si on est payé à l'heure) est

proportionnel à la durée du travail. Exemples de grandeurs non proportionnelles :

Le "poids" d'un individu donné n'est pas

proportionnel à sa taille

Propriété n°1

Propriété n°2 :

Propriété n°3 :

Propriété n° 4 :

Si on fait un graphique les points sont tous sur

une même droite passant par l'origine. Si on fait un graphique les points ne sont pas tous sur une même droite passant par l'origine.

Remarques:

a) On peut écrire :

Si je travaille 4 heures, je gagne 32 €

Si je travaille 1 heure, je gagne 32 : 4 = 8 €

Si je travaille 5 heures, je gagne 5

8 = 40 €

b) On peut utiliser un "automatisme"appelé a) Si j'ai 2 ans, je pèse 8 kg

Si j'ai 1 an, je pèse 8 : 2 = 4 kg

b) On ne peut pas utiliser le "produit en croix". x Durée du travail (en heures) 4 12 y Salaire (en euro) 32 96 8

8 (€ / h) est le coefficient de proportionnalité

Age (en années) 2 6

"Poids" (en kilogrammes) 8 10

Durée du travail

(en heures) 4 12

Salaire (en euro) 32 96

3 3

Age (en années) 2 6

"Poids" (en kilogrammes) 8 10 3 3

Durée du travail

(en heures) 4 12 16

Salaire (en euro) 32 96 128

Age (en années) 2 8 10

"Poids" (en kilogrammes) 8 10 16 :4 5

Proportionnalité (rappels pour enseignants)

4 5 32 ?

4 x ? = 5 x 32

Remarque : la fonction qui à x associe y est la fonction linéaire x 8 x Il s'agit de la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre : f(kx) = kf(x)

Il s'agit de la propriété de linéari-

té pour l'addition : f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2

Dominique Pernoux

http://pernoux.perso.wanadoo.fr Remarques concernant l'expression " règle de trois » La s i g n i f i c a t i on p r c i s e de l e x p r e ss i on r g l e de t r o i s peu t v a r i e r d un a u t e u r l au t r e m a i s dan s t ou s l e s c a s c e qu i e s t s ou s j a c en t c e s t l a p r o c d u r e de p a ss age p a r l u n i t s u i v a n t e 4 po m m e s c oû t en t 2 1 po m m e c oû t e 4 f o i s m o i n s d o n c c oû t e 2

4 €

5 po m m e s c oû t en t 5 f o i s p l u s don c c oû t e n t 254´ €. O n app e l l equotesdbs_dbs6.pdfusesText_11