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I Rappels sur les pourcentages, coefficient multiplicateur Soittun pourcentage; calculer lest% d"un nombrexrevient à calculerxt 100

Exemple : 20 % de 25 vaut :

20 100
255.

I.1 Coefficient multiplicateur :

Augmenter un nombrexdet% revient à le multiplierpar? 1t 100
Diminuer un nombrexdet% revient à le multiplierpar? 1t 100

I.2 Exemples :

Un objet vaut 12e. Son prix augmente de 4 %. Son nouveau prix est 12? 14 100

121,0412,48e.

La populationd"une ville était de 52000 habitants;elle a diminuéde 3 % en un an.

Elle est alors égale à : 52000?

13 100

520000,9750440

Le population d"un pays a été multiplié par 1,012 en un an. Le taux d"augmentation en % estttel que

1,021t

100
donct(1,021)1002.

La population a augmenté de 2%.

Lors d"une crise économique, un pays subit beaucoup d"inflation et les prix sont multipliéspar 3 en un an.

31t
100
donct200 :Lesprix ont augmentéde 200 %.

II Évolutions successives

II.1 Taux globalPropriété

Soientx0,x1, ...xndes nombres réels strictement positifs. t

1,t2, ...xnsont les taux d"évolution successifs permettant de passer dex0àx2, dex2àx3, ..., dexn1àxn

Le coefficient multiplicateurglobal permettantde passerdex0àxnest le produit desncoefficients.

1T(1t1)(1t2)(1tn) doncT(1t1)(1t2)(1tn)1

II.2 Exemples

Exemple 1 :Un prix subit une augmentationde 2 %, suivie d"une augmentationde 3 %.

Quel est le taux d"augmentationglobal?

Réponse :Le premier coefficient multiplicateurest 1t112%1,02.

Le second est 1t213%1,03.

Le coefficient multiplicateurglobal est 1,021,031,0506. Sitest le taux global, on a : 1t1,0506 donct1,050610,05065,06 % Exemple 2 :Un prix subit une augmentationde 2 %, suivie d"une baisse de 2%.

Quel est le taux d"augmentationglobal?

Réponse :Le premier coefficient multiplicateurest 1t112%1,02.

Le second est 1t21(2%)10,020,98.

Le coefficient multiplicateurglobal est 1,020,980,9996. Sitest le taux global, on a : 1t0,9996 donct0,999610,00040,04 %

Exemple 3 :La population d"une ville augmente de 3 % par an pendant troisans? Quel est le taux dévolu-

tion global?

Réponse :

Soitt3%. Le coefficient multiplicateur correspondant à chaque année est 13%1,03. La population est donc multipliéepar 1,03 chaque année.

Au bout de trois ans, la populationa été multipliéepar le coefficient multiplicateur(1t)(1t)(1t)

1,031,031,031,0331,09272710,092727.

SiTest le taux d"évolution global, on a : 1T10,092727 doncT0,0927279,2727 % Exemple 4 :Un objet coûte 23ehors-taxes; le montant de la T.V.A. est de 19,6 %.

Que est le prix T.T.C.?

Réponse :

Le coefficient multiplicateurest de 119,6 %1,196.

231,19627,508e.

Le prix TTC est d"environ 27,50e.

Exemple 5 :Un objet coûte 31,65eT.T.C.; le montant de la T.V.A. est de 5,5 %.

Que est le prix H.T.?

Réponse :

Soitxle prix H.T.

Le coefficient multiplicateurest de 15,5 %1,055.

On a alors :x1,05531,65.

On en déduit :x31,65

1,055 30.

Le prix H.T. est de 30e.

II.3 Taux d"évolution réciproque

Exemple

Un objet coûte 20e. Son prix subit une hausse de 2 %.

1. Quel est son nouveau prix?

2. Quel est le montant de la baisse qu"il doit subir pour retrouver sa valeur initiale?

Réponses:

1. Le coefficient multiplicateurassocié à une hausse de 2 % est 12 %1,02.

Le nouveau prix est : 201,0220,4.

2. Soittle taux de baisse; le coefficient multiplicateurest alors : 1t.

On doit donc avoir : (201,02)(1t)20, d"où, après simplificationpar 20 :

1,02(1t)1, et, par conséquent : 1t1

1,02

On en déduit :

t1 1,02 1

Alors :t0,01960, soit environ1,96 %.

On dit que le taux d"évolution réciproque de 2 % est de1,96 %.

Casgénéral :

1t1

1td"où :t1

1t1 t est appelétaux d"évolutionréciproquedu tauxt

Exemples:

1. Pour un tauxt3 %, on obtientt1

10,0310,0292,9 %.

Le taux dévolutionréciproque de 2 % est de -2,9 %.

2. Pour un tauxt10 %, on obtientt1

10,110,11111,1 %.

Le taux dévolutionréciproque d"une baisse de 10 % est d"environ 11,1 %.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11