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LIMITES

1. Limites1. Limites

1.1.Les limites dans la vie courante

Vitesse instantanée

Zénon d'Elée

(env. 490  env. 425)La notion de vitesse, et en particulier la vitesse d'un objet à un instant précis, est,

étonnamment, subtile et difficile à définir précisément. Considérez cette affirmation :

" À l'instant où le cheval a franchi la ligne d'arrivée, il galopait à 64 km/h ». Comment

peut-on étayer une telle affirmation ? Une photographie ne serait d'aucune aide, puisque sur le cliché, le cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de quantifier le mouvement à un moment précis puisqu'en se focalisant sur un seul instant on stoppe le mouvement ! Rappelons que la vitesse est la distance parcourue x divisée par le temps t qu'il a fallu pour la parcourir. Pour avoir la vitesse instantanée, on choisira

Δt→0. On ne

peut pas prendre t = 0, puisqu'on aurait une division par 0. La vitesse instantanée est donc une limite. Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de Zénon et d'autres

philosophes dès le 5ème siècle avant Jésus Christ. L'approche moderne, rendue célèbre

par Newton, ne considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit intervalle de temps contenant cet instant.

Pente d'une courbe

en un pointOn a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente d'une droite. Qu'en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente d'une courbe n'est pas constante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, la pente n'est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que d'autres. Comme la pente d'une droite est le déplacement vertical y divisé par le déplacement horizontal x, la pente en un point précis d'une courbe sera obtenu en choisissant Δx→0, autrement dit en prenant deux points " proches » sur la courbe. La pente d'une courbe en un point est donc elle aussi une limite.

1.2.Exemple introductif

Méthode numériqueSoit la fonction

f(x)=sin(x) x dont nous allons étudier le comportement au voisinage de a = 0, car elle est indéfinie en ce point, puisqu'on aurait 0 0. La méthode numérique consiste à construire un petit tableau de valeurs. Dans notre cas, on se rapprochera de 0 en venant depuis la gauche (i.e. en prenant des nombres plus petits que 0) et depuis la droite (i.e. en prenant des nombres plus grands que 0). D'après le tableau ci-dessous, il semblerait que la limite de f (x) quand x tend vers 0 est 1. Attention ! En analyse, les angles sont toujours exprimés en radians ! Veillez à ce que votre calculatrice soit bien en mode " radian » (rad).

Didier Müller, 2020Analyse1

CHAPITRE 1

gauche adroite f (x)0.998330.999980.999990.99999indéfini0.999990.999990.999980.99833

Méthode géométrique

L'aire du disque trigonométrique

est p·12. Pour trouver l'aire d'un secteur d'angle x, il faut multiplier cette aire parx

2π.

(x = 2p désigne le disque entier,

p un demi-disque, etc.).Nous allons prouver que le résultat de l'analyse numérique est exact par

une méthode géométrique ad hoc.

Regardons le dessin ci-contre.

Aire du triangle OCB  Aire du secteur OCB  Aire du triangle OCD, d'où : 1

2π⩽1

2⋅1⋅tan(x)

Après simplifications :sin(x)⩽x⩽tan(x)Après division par sin(x) (d'après le dessin sin(x) > 0) :

1⩽x

sin(x)⩽1 cos(x)Puis en inversant tout :

1⩾sin(x)

x⩾cos(x)Comme on fait tendre x vers 0, cos(x) tend vers 1 et il résulte que :

1⩾sin(x)

x⩾1On vient de démontrer que, en venant depuis la droite (puisque l'angle x est positif), la limite de la fonction f (x) tend vers 1. On remarque rapidement que le résultat est le même en venant depuis la gauche (i.e. x < 0), puisque sin(-x) -x=sin(x) x et cos(-x) = cos(x). Comme la limite à gauche est égale à la limite à droite, on dit que la limite existe et qu'elle est égale à 1.

On l'écrit : limx→0sin(x)

x=1

Remarque importante

Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, on dit que la limite n'existe pas.

Graphe de sin(x)

x, avec un trou en x = 0

AnalyseDidier Müller, 20202

LIMITES

1.3.Définition et notations

Définition

NotationsSoit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. Elle peut ne pas être

définie en a. La limite de f en a est le nombre vers lequel se rapproche la valeur de f (x) quand x se rapproche aussi près qu'on veut de a, mais avec x ≠ a. Il existe de nombreuses notations pour indiquer les limites à gauche et à droite. Voici celle que nous utiliserons :

Limite à gaucheLimite à droite

limx→a xaf(x)=L

Rappelons encore une fois que limx→a

f(x)=L⇔limx→a xa f(x)=L.

Exercice 1.1

Soit la fonction f (x) =

{-1six<1

2six=1

3six>1

Donnez :a.

limx→1 x<1 f(x)b. limx→1 x>1f(x)c. limx→1 f(x)d. f (1)

1.4.Opérations sur les limites

Si f et g admettent des limites finies quand

x→a, avec a fini ou infini, alors : limx→a (k⋅f(x))=k⋅limx→a f(x), où k est un nombre réel (idem pour " - ») limx→a f(x) g(x)= limx→a f(x) limx→a g(x) si limx→a g(x)≠0 limx→a n f(x) limx→a (f(x))n=(limx→a f(x))nDidier Müller, 2020Analyse3

CHAPITRE 1

1.5.Calcul de limites quand x r a, a fini

On va maintenant classer les limites en différentes catégories, puis on développera des techniques de résolution pour chacune de ces catégories. On cherchera d'abord des limites quand x tend vers un nombre fini, puis quand x tend vers l'infini.

Limites de fonctions

continues en a ExemplesIntroduisons d'abord une définition intuitive de la continuité : " Une fonction est continue dans un intervalle si on peut la dessiner d'un bout à l'autre de l'intervalle sans lever le crayon. » Si f est continue en a, la limite en a est égale à l'image de a. limx→5 (3x2+x)=3⋅52+5=80limx→π 3 sin(x)=sin(π

2Limite du quotient

de deux fonctions

1er cas :

dénominateur non nulSoit la fonction f(x)=N(x)

D(x)Si

limx→a

N(x)=c1 et limx→a

D(x)=c2≠0, alors limx→af(x)=c1

c2.

2ème cas :

numérateur non nul et dénominateur nulSeule une des trois réponses suivantes est possible : 1. limx→a f(x)=+∞2.limx→af(x)=-∞ 3. limx→a f(x) n'existe pas car limx→a xa

f(x)Pour déterminer la bonne réponse, il faut donc comparer la limite à gauche et la limite à

droite. Si elles sont égales, la bonne réponse sera la 1. ou la 2. Si elles sont différentes,

la bonne réponse sera la 3. Si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0, on a une forme indéterminée.

3ème cas :

numérateur et dénominateur nuls

Comparez les courbes des

fonctionsx2-5x+6 x2-x-2et x-3 x+1.

Que constatez-vous ?

Sont-elles vraiment les mêmes ?

Nous verrons dans le chapitre 3,

consacré aux dérivées, la règle de l'Hôpital, qui pourra aussi être utilisée.a.N(x) et D(x) sont des polynômes Si N(a) = 0, N(x) est divisible par (x-a) et si D(a) = 0, D(x) est aussi divisible par (x-a). On peut donc simplifier la fraction par (x-a).

Exemple : limx→2x2-5x+6

x2-x-2=limx→2(x-2)(x-3) (x-2)(x+1)=limx→2x-3 x+1=-1 3 b.N(x) et D(x) ne sont pas des polynômes Dans certains cas, on peut simplifier, après avoir amplifié...

Exemple : limx→4

(x-4)( 4 c.Quand x ≈ 0, alors sin(x) ≈ x et tan(x) ≈ x. Voir l'image ci-après. Attention, cela ne marche que quand x est proche de 0 !

AnalyseDidier Müller, 20204

LIMITES

En rouge :f (x) = x

En bleu :g(x) = sin(x)

En vert :h(x) = tan(x)

Au voisinage de 0,

ces trois courbes se superposent presque parfaitement. Vous pouvez le vérifier avec votre calculatrice.

Exercice 1.2

Aide pour les ex. 23-24 :

comparer les limites à gauche et à droiteCalculez, si elles existent, les limites suivantes :

1.limx→0

x2-2x x2.limx→-12x2+x-1 x3+13.limx→0

3x2-2x+2

x+14.limx→-5x2+2x-15 x2+8x+155.limx→3x2+2x-15 x2+8x+156. limx→-3 x2+2x-15 x2+8x+157. limx→1 x2-2x+1 x-18.limx→2 x2+1 |x2-4|9.limx→2 x>2 x2-3x+2 x2-4x+410. limx→2 x<2 x2-3x+2 x2-4x+411.limx→3x2-5x+6

2x2-6x12.limx→1x2+x-2

(x-1)2 13. limx→1 x-114.limx→1 x-115.limx→5 x-5 limx→0 x2 sin(2x) x18.limx→0 sin(2x) sin(3x)19.limx→1-sin(x-1)

1-x20.limx→0sin(x)

2x2+x21.

limx→1 x (x-1)222.limx→0tan(3x)

3x23.limx→0|x|

x24.limx→2|x-2| x2-3x+2

1.6.Calcul de limites quand x r

Principe du gâteau d'anniversaire " Plus le nombre d'invités est grand, plus la part de gâteau est

petite. »Quand on divise un nombre fini par un nombre tendant vers l'infini, le résultat tend vers

zéro.

Didier Müller, 2020Analyse5

CHAPITRE 1

Limite d'une

fonction polynôme quand x r  Théorème 1 En + (respectivement -), toute fonction polynôme a la même limite que son terme de degré le plus élevé.

Démonstration

limx→∞(anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a1x+a0) = limx→∞anxn(1+an-1 an1 x an1 an1 an1

Limite d'une

fonction rationnelle quand x r  Théorème 2 En + (respectivement -), toute fonction rationnelle a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

En effet, d'après le théorème 1 :

limx→∞ (anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0) anxn bmxm = {0sinm

Formes

indéterminées |x|= {xsix⩾0 -xsix<0 limx→∞ limx→∞ |x+b

2|Refaites les deux exemples

ci-contre en utilisant la troisième formule !Des expressions du type "0

0», "

0⋅∞», "∞∞», "∞-∞» sont dites indéterminées.

Lorsqu'un calcul de limites conduit à une forme indéterminée, on ne peut pas conclure immédiatement ; il faut généralement faire quelques transformations en utilisant par exemple les formules que vous trouverez dans la marge ci-contre.

Exemples

a.limx→+∞( limx→+∞(x+2-x)= 2 b. limx→-∞ limx→-∞ (1+3 (x-1)2)+2x)=limx→-∞(|x-1| (x-1)2 limx→-∞(|x-1|+2x)= limx→-∞ (-x+1+2x)=limx→-∞(x+1)= -. Exercice 1.3Calculez, si elles existent, les limites suivantes : 1. limx→+∞

2x2-3x

3x2-5x+12.limx→-∞

3x2-x+1

x3+x3.limx→-∞2x2-x x+2

4.limx→+∞x3+3x2

x2-15.limx→+∞(x-1)7 x7+3x5+2x26. limx→+∞ x2-4x+3

2x2+57.

limx→-∞ x2-5x+6

2x2-6x 8.limx→-∞

x9.limx→+∞ x+110. limx→+∞

LIMITES

1.7.Une limite célèbre

Où est la faute de

raisonnement ?Dans le chapitre consacré aux logarithmes, nous avions déjà vu cette limite célèbre, qui

est la définition du nombre e (dont la valeur est 2.718281828459...) : limx→+∞(1+1 x)x =e. De plus, on a aussi limx→-∞(1+1 x)x =e.

Graphe de

(1+1 x)xC'est ici l'occasion de remarquer que l'on peut facilement se tromper en faisant des raisonnements qui semblent justes. On pourrait en effet se dire que quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0, et qu'il reste alors 1 puissance infini, donc 1. Or, ce n'est pas la réponse exacte. Aussi est-il toujours prudent de vérifier sa réponse par une petite analyse numérique.

Remarquez bien que

quand x r o, y r 0, puisque y=1 x.On a aussi : limy→0 (1+y) 1 y=e.

En effet, en substituant y par 1

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