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Limites : Résumé de cours et méthodes
1Limite d"une fonction en+¥et en¥
1-1Limite infinie en+¥et en¥
DÉFINITIONSoitfune fonction définie sur un intervalle admettant+¥comme borne supérieure.On dit quefa pour limite+¥en+¥(ou
quef(x)tend vers+¥quandxtend vers+¥) lorsqu"on peut toujours trouver unxassez grand pour quef(x)soit aussi grand que
l"on veut. On écrit alors que limx!+¥f(x) = +¥.?? ??IRemarque :on définit de la même façon, ??lim x!+¥f(x) =¥limx!¥f(x) = +¥limx!¥f(x) =¥PROPRIÉTÉ lim x!+¥x= +¥limx!+¥x2= +¥limx!+¥x3= +¥limx!+¥px= +¥ lim x!¥x=¥limx!¥x2= +¥limx!¥x3=¥1-2Limite finie en+¥et en¥DÉFINITIONOn dit qu"une fonctionfa pour limite le réellen+¥(ou quef(x)tend verslquandxtend vers+¥) lorsqu"on peut toujours
trouver unxassez grand pour quef(x)soit aussi proche delque l"on veut. On écrit alors que limx!+¥f(x) =l.
??On dit alors que la droiteDd"équationy=lestasymptote horizontaleà la courbeCfen+¥.1S - Limites
cP.Brachet -www .xm1math.net1
IRemarque :on définit de la même façon limx!¥f(x) =l.??? ??La droiteDd"équationy=lest dite asymptote horizontale à la courbeCfen¥.PROPRIÉTÉlim
x!+¥1x =0 limx!+¥1x2=0 limx!+¥1x
3=0 limx!+¥1px
=0 lim x!¥1x =0 limx!¥1x2=0 limx!¥1x
3=02Limite d"une fonction ena(aréel)
2-1Limite infinie ena
DÉFINITIONSoitfune fonction définie sur un intervalle de la forme]a;b[. On dit quefa pour limite+¥ena(par valeurs supérieures)
lorsqu"on peut toujours trouver unxassez proche dea(x>a) pour quef(x)soit aussi grand que l"on veut. On écrit alors que
lim x!ax>af(x) = +¥. ??IRemarque :on définit de la même façon, ??limx!ax>af(x) =¥limx!ax DÉFINITIONSoitfune fonction définie sur un intervalle contenantaou de bornea. On dit quefa pour limite le réellenalorsqu"on peut toujours trouver unxassez proche deapour quef(x)soit aussi proche delque l"on veut. On écrit alors que limx!af(x) =l.PROPRIÉTÉ Sifest définie enaet sifest la fonction racine carrée, ou une fonction polynome, ou une fonction rationnelle alors On noteFI(pour forme indéterminée) les cas où les théorèmes ne permettent pas de conclure. PROPRIÉTÉEn+¥et en¥, une fonction polynome a la même limite que son terme de plus haut degré. En+¥et en¥, une fonction rationnelle (c"est à dire, un quotient de deux polynomes) a la même limite que le rapport des =limx!+¥3x= +¥(on ne garde que le terme de plus haut degré au numérateur et au dénomi- DÉFINITIONSoitfune fonction définie sur un intervalle de borne+¥et a, b deux réels (a6=0). Si limx!+¥f(x)(ax+b) =0 alors la droiteDd"équationy=ax+best dite asymptote oblique à la courbeCfen+¥.?????? De la même façon, si limx!¥f(x)(ax+b) =0 alors la droiteDd"équationy=ax+best dite asymptote oblique à la courbe Une même droite peut-être asymptote oblique en¥, ou en+¥, ou aux deux infinis. Il faut donc vérifier la limite def(x) Elles n"existent que pourxtendant vers un "infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). Si limx!¥f(x) =l(lréel) alors la droiteDd"équationy=lest asymptote horizontale à la courbeCf. Pour étudier la position relative entre l"asymptoteDet la courbeCf, il suffit d"étudier le signe def(x)l: Elles n"existent que pourxtendant vers un "infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). Pour étudier la position relative entre l"asymptoteDet la courbeCf, il suffit d"étudier le signe def(x)(ax+b): Si pour toutxdeI,f(x)>u(x)et si limx!+¥u(x) = +¥alors on peut affirmer que limx!+¥f(x) = +¥.( " une fonction supérieure Si pour toutxdeI,f(x)6v(x)et si limx!+¥v(x) =¥alors on peut affirmer que limx!+¥f(x) =¥.( "une fonction inférieure à Si pour toutxdeI,u(x)6f(x)6v(x)et si limx!+¥u(x) =limx!+¥v(x) =l(lréel) alors on peut affirmer que limx!+¥f(x) =l. ( " une fonction encadrée par deux fonctions tendant vers l tend aussi vers l » - cette propriété est appelée " théorème desP.Brachet -www .xm1math.net1S - Limites
PROPRIÉTÉ
lim x!0x>01x = +¥limx!0x>01x 2= +¥limx!0x>01x
3= +¥limx!0x>01px
lim x!0x<01x =¥limx!0x<01x 2= +¥limx!0x<01x
3=¥2-2Limite finie ena
2+1=4030
2+1=3 3Opérations sur les limites
3-1Limite d"une sommeSifa pour limiteet siga pour limitealorsf+ga pour limitell
IExemples :
limx!+¥x|{z} !+¥+1x |{z} !0= +¥limx!¥1x 2|{z} !0+x3|{z} !¥=¥limx!0x>0px |{z} !p0=0+ 1x |{z} 3-2Limite d"une produitSifa pour limiteet siga pour limitealorsfga pour limitell
0ll 0l6=0+¥(signe del)¥l6=0¥(signe del)¥+¥+¥+¥+¥¥¥¥¥+¥0¥FI
1S - Limites
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IExemples :
limx!+¥x|{z} !+¥px |{z} !+¥= +¥limx!+¥2x2|{z} !+¥=¥limx!+¥ 1x 2 |{z} !2 px |{z} !+¥=¥(car limx!+¥1x =0 ) 3-3Limite de l"inverseSifa pour limitealors
1f a pour limitel6=01 l ¥0 0 (par valeurs+)+¥0 (par valeurs)¥IRemarque :Quand le dénominateur tend vers 0, il faut déterminer et justifier s"il le fait par valeurs positives ou négatives (on
peut s"aider d"un tableau de signes). IExemples :
limx!+¥13x+2=0 , car limx!+¥3x+2= +¥limx!2x>21x2= +¥, car limx!2x>2x2=0+(x2>0 ,pourx>2) limx!2x<21x2=¥, car limx!2x<2x2=0(x2<0 ,pourx<2) 3-4Limite d"un quotient
Pour étudier la limite de
fg , on écrit quefg =f1g . On détermine alors la limite defet de1g , ce qui permet d"en déduire la limite de fg IExemples :
limx!0x>0x+1px =limx!0x>0(x+1)|{z} !11px |{z} limx!1x>1x 2+3x+1=limx!1x>1(x2+3)|{z}
!(1)2+3=41x+1 |{z} +¥= +¥(car limx!1x>1x+1=0+) limx!¥2x31+1x =limx!¥(2x3)|{z} 11+1x |{z} !1=¥(car limx!¥1+1x |{z} !0=1) 4Cas des fonctions polynomes et rationnelles en+¥et en¥
On utilise la propriété suivante (uniquement valable en+¥et en¥) : P.Brachet -www .xm1math.net1S - Limites
limx!+¥3x2+4x+2x7=limx!+¥3x2x 3+7x+6=limx!¥4x2x
3=limx!¥41x
|{z} !0=0 5Asymptote oblique à une courbe
On a lim
x!+¥f(x)(3x+1) =limx!+¥3x2+x+1x 3x1=limx!+¥3x2+x+13x2xx
=limx!+¥1x =0. Cela prouve bien queDest asymptote oblique à la courbeCfen+¥. 6Bilan sur les asymptotes
Asymptotes verticales :
Elles n"existent que pourxtendant vers un nombre fini. Si limx!ax>aouxAsymptotes obliques :
P.Brachet -www .xm1math.net5
7Théorèmes de comparaison en+¥ou en¥
PROPRIÉTÉEtant donnéf,uetvtrois fonctions définies sur un intervalleIde borne+¥: IExemples :
Pour toutx>0,px+3>px. Or, limx!+¥px= +¥. On peut en conclure que limx!+¥px+3= +¥ Pour toutx>1, 161+1x
62)p16r1+1x
6p2)1x
On peut donc en conclure que lim
x!+¥q1+1x x =0 .6 c P.Brachet -www .xm1math.net1S - Limites
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