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1 exercices, stigmatisme
Exercices, stigmatisme
1. Miroir plan
Les rayons lumineux issus d'un point A sont réfléchis par un miroir plan.1.1. Déterminer la position de l'image virtuelle A' de A, par le miroir, pour différents rayons.
1.2. Le système est-il stigmatique ?
solution2. Dioptre plan
Deux milieux d'indices 1
n et 2 n sont séparés par un plan perpendiculaire à l'axe Ox. Un rayon lumineux issu de A arrive sur le dioptre plan en I avec un angle d'incidence1 i et est réfracté avec un angle 2 i.2.1. Tracer le rayon réfracté et l'image virtuelle A', de A pour plusieurs valeurs de
1 i.2.2. Déterminer
OA'dans le cas où
12 nn>. La position de A' est-elle la même pour les différents rayons ?2.3. Pour quelles positions de A y a-t-il stigmatisme rigoureux ? Faire un schéma.
2.4. Lorsque les rayons issus de A sont paraxiaux, montrer qu'il y a stigmatisme approché. Donner la
relation liant OA' et OA . solution3. Miroir concave
On cherche la forme du miroir qui permet de focaliser un faisceau de lumière parallèle en un point F.
On note M un point du miroir de coordonnées cartésiennes x et y.3.1. Exprimer en fonction de x et y, les composantes d'un vecteur u perpendiculaire au miroir en M.
3.2. Donner les composantes d'un vecteur
v tangent au miroir en M.3.3. En déduire une relation liant x et y, et la forme du miroir.
s o lution A O x 1 n 2 n I y x F M exercices, stigmatisme 2 solutions S 1 1.1.1.2. le système est rigoureusement stigmatique car le chemin optique de A à A' est constant. La
position de A' ne dépend pas du rayon émergent de A. retour énoncé S 22.1. si
12 nn> : si 12 nn< : A' 2 i 1 iI A O 1 n 2 n A O 1 n 2 n 1 i 2 i A' A A' I3 exercices, stigmatisme
2.2. 1OItani
AO= et
2OItani
AO=′
donc : 1 2 taniOA OAtani′=.La position de A' dépend des angles
1 i et 2 i . Il n'y a donc pas de stigmatisme rigoureux.2.3. Si A est sur le dioptre (
12 nn>), OA 0= implique OA 0′=.Si A est à l'infini (
12 nn>), OA→-∞ implique OA′→+∞.2.4. Lorsque les rayons sont paraxiaux :
11 tani i= et 22tani i=. D'où : 1 2 iOA OAi′=.
Mais d'après Descartes,
11 2 2
ni ni= et donc : 2 1 nOA OAn′=. La position de A' ne dépend plus du rayon émergent de A. Il y a stigmatisme approché. retour énoncé S 33.1. Le vecteur u s'obtient en faisant la somme vectorielle de deux vecteurs unitaires :
22x1 y FMxy= +FM et x 1 0= e. A A' 1 n 2 n A A' 1 n 2 n exercices, stigmatisme 4
Donc :
2222
x1 xy y xy+ u.
3.2. Le vecteur
v tangent au miroir en M est : dx dy= v.3.3. Les vecteurs
u et v sont orthogonaux. Ceci se traduit par la relation 0?=uv qui s'écrit en coordonnées cartésiennes : 22xdx ydydx 0 xy+ ou encore : 22
dxxy 0
Par intégration il vient immédiatement :
22xxyC++= où C est une constante. Puis : 2 yCx2C 2=- +.