CONVEXITÉ

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. CONVEXITÉ. I. Fonction convexe et fonction concave. Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E.

CONVEXITÉ

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I

CONTINUITE ET CONVEXITE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. CONTINUITE ET. CONVEXITE. I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

CONVEXITÉ

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I

LIMITES CONTINUITÉ

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Tlccfct.pdf

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)

Démonstration : Pour tout réel >0 (ln ) = > 0. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Convexité. Propriété : La 

ANGLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ANGLES. Le mot « angle » vient du grec « agkon » (= coude).

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. 3) Convexité. Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur 0;+????? .

FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION EXPONENTIELLE ET 2) Étudier la convexité de la fonction .

LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM.

CONVEXITÉ - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 Pour x?0 la courbe est au-dessus de sa tangente La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe

Cours - Convexite

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 5 Propriété : Au point d'inflexion la fonction change de convexité Exemple :

CONVEXITÉ - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 8 On peut ainsi résumer les variations de I? et la convexité de I dans le tableau suivant : I(7)=257 Ainsi le point de coordonnées (7 ; 257) est un point d'inflexion de la courbe 3) Avant le point d'inflexion la fonction est concave la croissance du coût de fabrication I

CONTINUITE ET CONVEXITE - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 2) Valeurs intermédiaires Théorème des valeurs intermédiaires : On considère la fonction f définie et continue sur un intervalle [ a ; b] Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) l'équation f (x) =k admet au moins une solution dans l'intervalle [ a ; b]

LIMITES CONTINUITÉ CONVEXITÉ - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES CONTINUITÉ CONVEXITÉ I Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction ! admet pour limite # en +? si !(’) est aussi proche de # que l’on veut pourvu que ’ soit suffisamment grand Exemple :

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques Remarque : Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =x Conséquences : a) y =lnx avec x >0 ?x =ey b) ln1=0 ; lne =1 ; ln 1 e =?1 c) Pour tout x lnex =x

Fonctions convexes 1 Dimension 1 - univ-toulousefr

Ceci montre que f0est croissante et donne donc bien le résutat Exercice 2 (Fonctions convexes et fonctions af?nes) Soit Iun intervalle ouvert de R On note A (I) l’ensemble des fonctions af?nes dé?nies sur I 1 Montrer qu’une fonction ’: I!R est convexe si et seulement si pour tout x2I on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2

Cours - Convexite - Christophe Bertault

Théorème (Caractérisation de la convexité par les pentes des sécantes inégalité des pentes) Soit f: I ?? R une fonction (i) Caractérisation de la convexité par les pentes des sécantes : f est convexe sur I si et seulement si pour tout a ? I la fonction x ?? f (x)? f (a) x ?a est croissante sur I a a b c b b b

Chap 4 Continuité dérivabilité et convexité - DIDRIT

Term_Maths Cours_04 2022 - Continuité dérivabilité et convexité docx 3/3 h Dérivée d’une composée Rappel de 1ère : Dérivée d’une composée affine avec a et b deux constantes Si g est dérivable et que f(x) = g(ax + b) alors f est dérivable et f’(x) = a × g’(ax + b) Application : Avec a et b deux constantes

PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 8 Propriété : Si ! et F sont deux solutions de l’équation différentielle R’=>R >??

Feuille d'exercices n 2 Convexité - sorbonne-universitefr

4 ma 066 : Optimisation numérique et science des données 2021 2022 Feuille d'exercices n 2 Convexité Exercice 1 rai/fauxV Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Le cas échéant fournir un contre-exemple (a) L'intersection de deux ensembles convexes est convexe (b) L'union de deux ensembles convexes est convexe

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« aA et B sont deux points d'abscisses et b de la courbe cf d'une fonction f Si on peut tracer cf entre A et B sans lever le crayon alors toute droite d'équation k = où est un réel compris entre ff(a)et (b) coupe la courbe cf en au moins un point » Propriété 1 Soit f une fonction définie continue et

Comment calculer la convexité?

• estnégative,doncpourtousx,y >0 et?= 1 2 dans la dé?nition de la concavité : ln x+y 2 ¾ 1 2 lnx+ 1 2 lny. De nombreuses inégalités de convexité découlent de la dé?nition ou des résultats qui précèdent.

Qu'est-ce que le cours de convexite ?

• Ce cours, redige pour des etudiants preparant l'agregation de mathematiques, a pour objet d'aborder defacon transversale les resultats fondamentaux lies a la notion de convexite en mathematiques.

Quel est le lien entre la convexité d’une fonction et sa dérivée ?

• Lien entre la convexité d’une fonction et sa dérivée f est convexe sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f? est ………………. sur I. f est concave sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f? est ………………. sur I. ??. On peut traduire le théorème précédent avec le signe de la dérivée seconde. Propriété 3.

Quelle est la différence entre convexite et convergence uniforme ?

• est convexe, et la convergence est uniforme sur tout compact. Preuve (voir par exemple [7]). La convexite defdecoule d'un simple passage a la limite dans lesinegalites larges. On va montrer la convergence uniforme sur tout compact de la formeS=B(0;r), r >0. La preuve se fait en trois etapes.