Variables aléatoires Inégalités et Lois de probabilité

Variables aléatoires Inégalités et. Lois de probabilité. Massih-Reza Amini. Université Grenoble Alpes (UGA). Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG) 

Inégalités en analyse et en probabilités – Leçon 244 - Rappels de

Inégalités en analyse et en probabilités – Leçon 244. Rappels de théorie. Inégalité de Cauchy–Schwarz. Soit E un espace vectoriel sur K o`u K désigne soit 

Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 13 - Convergences et

Correction Exercices Chapitre 13 - Convergences et approximations en probabilité. 13.1 En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev montrer que pour 

Probabilités - S2 TD 3 - Inégalité de Bienaymé-Tchebichev

TD 3 - Inégalité de Bienaymé-Tchebichev - Convergence en probabilité. Corrigés. Rappels : • Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire 

MAJORER MINORER UNE PROBABILITÉ

Utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. ? Cadre trois : on doit minorer P(a<X<b) : Calculer E(X).

CONCENTRATION LOI DES GRANDS NOMBRES

Probabilité de . Valeur de . Probabilité Et on a ainsi la loi de probabilité de : ... Méthode : Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Inégalités isopérimétriques en analyse et probabilités

voit ainsi interagir inégalités fonctionnelles théorie des semigroupes

Inégalité de Markov Inégalité de Jensen

Soit µ une loi de probabilité sur ?. On suppose que µ(?) > 0 pour tout ? ? ?. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans ? et de loi µ.

Feuille dexercices no 4

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev loi des grands nombres l'inégalité de Markov

Leçon 11

Les inégalités sur des probabilités sont d'usage constant; elles permettent L'inégalité de Markov n'a bien entendu d'intérêt que si X est intégrable et.

Statistique et probabilités - Dunod

I Convergence en probabilité 170 A Inégalité de Markov 170 B Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 171 C Inégalité de Jensen 171 D Convergence en probabilité 172 E Loi des grands nombres 175 II Convergence en loi 177 A Définition 177 B Lien avec la convergence en probabilité 177 C Propriété 177 D Théorème de Slutsky 178

I –Inégalités classiques en théorie des probabilités

Remarque 10 5 – Souvent on reconnaît qu’il faut se servir de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev grâce aux valeurs absolues présentes dans la probabilité 3 –Loi faible des grands nombres Théorème 10 6 – Loi faible des grands nombres Soit (Xn)n2N? une suite de variables aléatoires indépendantes ayant chacune la même

Inégalités de concentration SpéMaths

de probabilité P 2 1 Inégalité de Markov Si X est une variable aléatoire à valeurs positives et soit a un réel strictement positif alors : P ¡ X >a ¢ 6 E(X) a Interprétation : La probabilité que X prenne des valeurs plus grandes que a est d’autant plus petite que a est grand Propriété 1 Inégalité de Markov

Inégalités fonctionnelles et modèle gaussien

mesure de probabilité µ 9 1 1 Inégalité de Poincaré Dé?nition 9 1 1 Nous dirons que µ véri?e une inégalité de Poincaré de constante C P > 0 pour une famille de fonction A P si pour toute fonction f œ A P Var µ(f) Æ C P ? Rn Òf2dµ où Var µ(f)= s Rn f 2dµ?!s Rn fdµ " 2 Dans l’équation précédente la

T spé Inégalités de Markov P et de Bienaymé-Tchebychev

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev 2 01 X105 05 P soit P X 1 05 04 La probabilité qu’une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à 04 Exercice : Déterminer à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev le minorant que le nombre de piles soit compris

CONVERGENCES ET APPROXIMATIONS EN PROBABILITÉS

n de réalisation de l’événement A au cours des n premières expériences converge en probabilité vers p = P(A) (la convergence est même presque sûre d’après la loi forte) Ainsi la fréquence statistique de réalisation d’un événement tend vers la probabilité de cet événement

Quels sont les inégalités classiques en théorie des probabilités ?

I –Inégalités classiques en théorie des probabilités 1 –IInégalité de Markov Proposition 10.1 – Inégalité de Markov SoitXune variable aléatoirepositive(discrète ou à densité) admettant une espérance. Alors pour tout réelastrictement positif, on a P(X>a)6 E(X)

Quel est le membre de droite de l’inégalité ?

Cettenouvelle quantité, provenant de la théorie de l’information, n’est qu’une nouvelle formulation del’energie de Dirichlet d’une fonction après avoir procédé à un changement de variable (en remplaçant parÔf) dans une inégalité de Sobolev logarithmique. Ce faisant, le membre de droite de l’inégalité

Quels sont les conséquences de l’inégalité de Sobolev logarithmique ?

Nous allons voir dans la section suivante les conséquences d’une telle inégalité vis à vis de laconcentration de la mesure. L’inégalité de Sobolev logarithmique étant plus forte que celle de Poincaré, il est naturel des’attendre à obtenir des propriétés de concentration plus fortes.

Comment écrire l’inégalité de concentration ?

On utilise l’inégalité de concentration déduite de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité s’écrit : P? ?Mn? m?? a??. On peut écrire0? P?? M?m?? a??. Cette notion, historiquement, apparaît dans les premiers travaux de Jacques Bernoulli (1654-1703). On lance 100 fois une pièce équilibrée de monnaie.