o`u : Hf (a) est la matrice des dérivées partielles secondes 7 4 Application aux extrema Définition 7 4 1 Soit f : U ? R une fonction de plusieurs variables
Fonctions dérivées partielles premières Exemple : Calculer les dérivées Exemple : Calculer les dérivées partielles secondes de la fonction suivante
Les notions plus élaborées entre autres la différentielle seront abordées dans un second temps 1 Les dérivées partielles 1 1 Vision calculatoire Nous
Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables L'objectif est évidemment de donner une définition
Exercice 1 Calculer en tous les points (x y) où elles sont définies toutes les dérivées partielles secondes des fonctions de deux variables suivantes :
Pour calculer la seconde dérivée partielle on consid`ere x comme Si on met les deux dérivées partielles ensemble on obtient le
Calculer les dérivées partielles `a l'ordre 2 des fonctions suivantes : tout réel t f admet une dérivée partielle par rapport `a la seconde variable en
2) Considérez les fonctions f(x y) suivantes calculer pour chacun des cas les dérivées premières fx et fy et les trois dérivées secondes fxx fyy et fxy
2 Dérivées partielles Définition de la dérivée partielle La dérivée partielle de la fonction f par rapport à x en (x y) est la dérivée de la fonction
Soit f : U ? R une fonction de plusieurs variables Si f admet des dérivées partielles secondes continues alors : ?2f ?xi?xj = ?2f
On rappelle que ?xj V désigne la dérivée partielle de V par rapport `a la variable xj On note aussi xj la dérivée seconde par rapport `a la variable t
Pour calculer la seconde dérivée partielle on consid`ere x comme un param`etre et on dérive ”en y” Exemple Posons f := (xy) ?? xy + y2 + cosxy On a fy
Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables L'objectif est évidemment de donner une définition
Exercice 1 Calculer en tous les points (x y) où elles sont définies toutes les dérivées partielles secondes des fonctions de deux variables suivantes :
Si f est différentiable en x alors ses dérivées partielles existent et on d'une dérivée partielle seconde de f Exemple f : R2 ? R (x y) ?? x3y4
Dans le contexte des fonctions de plusieurs variables l'adjectif partiel signifie par rapport à une seule variable les autres arguments étant constants D'une
Les dérivée partielles de f au point (x y) = x ? R2 sont Fonction de deux variables : Dérivées secondes ? Dérivées secondes :