de nouvelles fonctions : ch sh
I Les fonctions hyperboliques directes. A) Définition. Définition : B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique) ... Ainsi @x P R
y = Argsh(x) on a ey = sh(y) + ch(y) = x +. /. 1 + x2
argch(y) = ln(y +. ? y2 - 1). 5. On sait que la fonction sh est continue et strictement croissante sur R telle que lim x?±?.
argsh : R ? R est dérivable sur R. Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I. ... ax ln a loga x (a ? R?+ {1}).
On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ln. (1+0. 1 ? 0. ) = 0 = Argth(0) donc les fonctions f et Argth sont égales sur ] ? 11[.
R est strictement croissante et continue. • Argsh est dérivable sur R et 8x 2 R
L'ensemble de définition de ln est Dln =]0+?[
Cette fonction est continue et définie sur et sa dérivée s'écrit : Ln a e. Ln a a. = = = Cas particulier : l'exponentielle de base e ... y Argch x. Ln ...
ln x x . Montrer que f admet un point d'inflexion. 2[ ? R définie par G(t) = argsh(tan t). ... 4 ln x x3 . Figure 3 La fonction x ?? 2 ln x+3.
de nouvelles fonctions : ch sh th arccos arcsin arctan Argch Argsh Argth 6 la fonction ln est concave et ln x ? x ? 1 (pour tout x > 0)
y = Argsh(x) on a ey = sh(y) + ch(y) = x + / 1 + x2 d'o`u Argsh(x) = y = ln(x + / 1 + x2) 2 2 Argch La fonction ch est strictement croissante donc
2 2 Les fonctions du second degré x ?? ax2 + bx + c 7 2 2 Définition de la fonction ln š Pour tout réel x on a argsh(x) = ln(x + ?x2 + 1)
R est strictement croissante et continue • Argsh est dérivable sur R et 8x 2 R (Argsh)0(x) = 1 p1+x2 • on a l'expression logarithmique Argshx = ln(x+ px2
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : Ln a e Ln a a = = = Cas particulier : l'exponentielle de base e y Argch x Ln
On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch : On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : argch(x) = ln(x + ?x2 ? 1)
La fonction sh est continue strictement croissante de R dans R C'est donc une bijection pour ces ensembles On appelle argsh la fonction réciproque de sh sur
P6 la fonction ln est strictement croiante sur ]0+?[ DEF : la fonction argsh (ou argsinh) est la fonction réciproque de sh : x = argsh y ? y = shx
ln x x Montrer que f admet un point d'inflexion (c) sh(2 argsh x) La fonction f : x ?? argsh x + argch x est continue et strictement croissante