Le noyau d'une application linéaire de E dans F est un sous-espace Si f : E ? F est une application linéaire son image
Montrer que f ? L(M2 (R)) déterminer kerf Imf. Déterminer Montrer que kerg ? kerh = E. Montrer que f est un automorphisme et calculer fL1. ++++++++.
Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f. Calculer le noyau revient à résoudre un système linéaire et calculer ...
Quel est le rang de f (i.e. la dimension de Imf)?. Puisque f est un endomorphisme de R3 espace vectoriel calculer P?1 avec la formule de la comatrice :.
Exercice 1 : Montrer que si f : R ? R est polynômiale de degré 2 Soient K un supplémentaire de Im(f) dans E et ... Calculer la dimension de N.
En observant les colonnes de A déterminer le rang
Comment déterminer le rang de f. On suppose E de dimension finie. • Méthode 1: On cherche une base de Im f et rg f = dim Im f. • Méthode 2: On cherche Ker f
forment une base de R3 et calculer la matrice de f par rapport à cette base. Utiliser l'exercice 9 : Ker f ?Im f et il existe une base telle que f(ei) ...
Définition Si f : E ? F est une application linéaire son image notée Imf est donc l'ensemble des vecteurs de F de la forme f (v) avec v ? E : Imf := {f (
4) Ecrire la formule reliant A et B Calculer P-1 et vérifier cette formule 5) Déterminer que imf et kerf Exercice 9 – (extrait du sujet d'examen 2008) On
1 Calculer les images des vecteurs de la base canonique par En déduire la dimension de im( ) 2 Déterminer la dimension de ker( ) et en donner une
Imf est un sous-espace vectoriel de F Proposition 1 Si E est de dimension finie alors : Imf = f(E) est un espace vectoriel
Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f Calculer le noyau revient à résoudre un système linéaire et calculer
On calcule d'abord l'image : (1XX2 Xn) est une base de l'espace de départ n[X] donc rg f = dim Im f = dim Vect f (1) f (X) f (Xn) Tout d'abord f
Exercice 32 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et (fg) deux endomorphismes de E avec E = Im(f)+Im(g) = Ker(f)+Ker(g) Montrer que E = Im(f)? im
Par définition f est surjective si et seulement si Imf = F On utilise souvent ces résultats sous la forme suivante : Théor`eme L'application linéaire f est
(a) Montrer que Ker(g ? f) = Ker f et Im(g ? f) = Img (b) Montrer E = Ker f ? Img (c) Dans quel cas peut-on conclure g = f?1 ? (d) Calculer (g ? f)