Noyau et image des applications linéaires
Le noyau d'une application linéaire de E dans F est un sous-espace Si f : E ? F est une application linéaire son image
Chapitre 17 : Applications linéaires
Montrer que f ? L(M2 (R)) déterminer kerf Imf. Déterminer Montrer que kerg ? kerh = E. Montrer que f est un automorphisme et calculer fL1. ++++++++.
Applications linéaires
Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f. Calculer le noyau revient à résoudre un système linéaire et calculer ...
Devoir 1 pour le 12 Mars Exercice 1
Quel est le rang de f (i.e. la dimension de Imf)?. Puisque f est un endomorphisme de R3 espace vectoriel calculer P?1 avec la formule de la comatrice :.
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
Exercice 1 : Montrer que si f : R ? R est polynômiale de degré 2 Soient K un supplémentaire de Im(f) dans E et ... Calculer la dimension de N.
Chap 04 - Espaces vectoriels endomorphismes et matrices
En observant les colonnes de A déterminer le rang
Méthodes de base en algèbre linéaire
Comment déterminer le rang de f. On suppose E de dimension finie. • Méthode 1: On cherche une base de Im f et rg f = dim Im f. • Méthode 2: On cherche Ker f
Matrice dune application linéaire
forment une base de R3 et calculer la matrice de f par rapport à cette base. Utiliser l'exercice 9 : Ker f ?Im f et il existe une base telle que f(ei) ...
[PDF] Noyau et image des applications linéaires
Définition Si f : E ? F est une application linéaire son image notée Imf est donc l'ensemble des vecteurs de F de la forme f (v) avec v ? E : Imf := {f (
[PDF] On consid`ere lapplication linéaire : f : R 4 ? R2 (x1x2x3
4) Ecrire la formule reliant A et B Calculer P-1 et vérifier cette formule 5) Déterminer que imf et kerf Exercice 9 – (extrait du sujet d'examen 2008) On
[PDF] Applications linéaires matrices déterminants
1 Calculer les images des vecteurs de la base canonique par En déduire la dimension de im( ) 2 Déterminer la dimension de ker( ) et en donner une
[PDF] 1 Rang dune application linéaire
Imf est un sous-espace vectoriel de F Proposition 1 Si E est de dimension finie alors : Imf = f(E) est un espace vectoriel
[PDF] Applications linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f Calculer le noyau revient à résoudre un système linéaire et calculer
[PDF] Matrice et application linéaire - Exo7 - Cours de mathématiques
On calcule d'abord l'image : (1XX2 Xn) est une base de l'espace de départ n[X] donc rg f = dim Im f = dim Vect f (1) f (X) f (Xn) Tout d'abord f
[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices
Exercice 32 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et (fg) deux endomorphismes de E avec E = Im(f)+Im(g) = Ker(f)+Ker(g) Montrer que E = Im(f)? im
[PDF] IV Applications linéaires
Par définition f est surjective si et seulement si Imf = F On utilise souvent ces résultats sous la forme suivante : Théor`eme L'application linéaire f est
[PDF] Applications linéaires - Xiffr
(a) Montrer que Ker(g ? f) = Ker f et Im(g ? f) = Img (b) Montrer E = Ker f ? Img (c) Dans quel cas peut-on conclure g = f?1 ? (d) Calculer (g ? f)
Comment trouver la base de Im F ?
Cherchons donc une sous-famille de deux vecteurs qui, elle, soit libre. V ), donc forment une famille libre. On a alors que Imf = V ect(U, V ), avec (U, V ) libre : c'est ainsi une base de Imf.Comment calculer IMF et Ker f ?
Il résulte de la formule de dimension : 3 = dimE = dim Imf + dim kerf = dim Imf + 1 . Ainsi, l'image de f est un espace vectoriel de dimension 2. D'apr`es le cours, puisque (e1,e2,e3) engendrent E, Imf est engendré par f(e1),f(e2),f(e3). Déterminons une base de Imf eche- lonnée dans la base (e1,e2,e3).C'est quoi IM F ?
On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f).- Imf := {w ? R3?v ? R2,w = f (v)}. Définition Si f : E ? F est une application linéaire, son image, notée Imf , est donc l'ensemble des vecteurs de F de la forme f (v) avec v ? E : Imf := {f (v)v ? E}.
Noyau et image des applications lineaires
DedouNovembre 2011
Noyau d'une application lineaire : denition
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son noyau, noteKerfest l'ensemble des vecteurs deEquefannule :Kerf:=fv2Ejf(v) = 0g:Exemple
Le noyau de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y;0) deR3sur son plan horizontal est l'axe vertical deni parx=y= 0.Nature du noyau d'une application lineaire
Proposition
Le noyau d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ca se prouve... trop facile!Noyau et systeme lineaire homogene : exemple
Exemple
Le noyau def:= (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z) est l'ensemble des solutions du systeme3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0:Le m^eme dans l'autre sens
L'ensemble des solutions du systeme
3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0
est le noyau de l'application lineaire (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z).Noyau d'une application lineaire : exercice
Exo 1 a) Exprimez le noyau def:= (x;y;z;t)7!(3x+ 7zt;2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l'ensemble des solutions du systeme 8< :3x+ 4t= 0 yzt= 02x+y+zt= 0
comme noyau.Base d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).Base d'un noyau : exercice
Exo 2Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z)7!(xy+z;x+yz).Dimension d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de
depart diminue du rang de la matrice.Base d'un noyau : exercice
Exo 3Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(xy+z+t;x+yz+t;t).Rappel : image d'une application
Rappel(?)
L'image d'une applicationf:R2!R3(par exemple) c'est l'ensemble des imagesImf:=ff(v)jv2R2g
ou encoreImf:=fw2R3j9v2R2;w=f(v)g:
Image d'une application lineaire
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son image, noteeImf, est donc l'ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv2E:Imf:=ff(v)jv2Eg:Exemple
L'image de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y) deR3sur son plan horizontal est justement ce plan horizontal, d'equationz= 0.Nature de l'image d'une application lineaire
Proposition
L'image d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deF.Et ca se prouve... trop facile! Image d'une application lineaire et colonnes de sa matriceExemple
L'application lineairef:= (x;y;z)7!(3x+5y+7z;2x+4y+6z) s'ecrit aussi f:= (x;y;z)7!x3 2 +y5 4 +z7 6 Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l'image defsont exactement les combinaisons lineaires du systeme de trois vecteurs ((3;2);(5;4);(7;6)) :Im(x;y;z)7!3x+ 5y+ 7z
2x+ 4y+ 6z
=<3 2 ;5 4 ;7 6 > :Moralite L'image defest le sous-espace vectoriel engendre par les colonnes de sa matrice.Image d'une application lineaire : exemple
Exo corrige
Donnez des generateurs de l'image de
(x;y)7!(3x+ 7y;2y;xy).Image d'une application lineaire : exo
Exo 4Donnez des generateurs de l'image de
(x;y;z)7!(3x+ 7y;2y+z;xy;x+z). Base de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+ 2z;yz;x+ 3y).On prend les generateurs comme on sait faire, et on enleve ceux qui sont en trop.Base de l'image d'une application lineaire : exo
Exo 5Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y;yz;x+z;x+ 2yz). Equations de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y)7!(x+y;y;2xy;x+ 3y).On sait trouver des generateurs, et a partir des generateurs, on sait trouver des equations. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z). Dimension de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Calculer la dimension de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z).C'est le rang du systeme des colonnes de la matrice, donc c'est le
rang de la matrice. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6Calculer la dimension de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;x2y+z;x+ 2y+ 3z;2x+ 3yz).quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] base de im(f) matrice
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