f est injective si et seulement si Ker f = {0E }. 2 f est surjective si et seulement si Imf = F. 3 f
On n'oubliera pas qu'au collège seule l'implication est utilisée : toute équivalence logique y est formulée en deux énoncés séparés en termes de si…alors… ; en
RAPPEL : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul c'est-à-dire : A × B = 0 ? A = 0 ou B = 0. EXERCICE 2A.1.
Si E est fini alors l'ensemble f(E) est fini. De plus
Exercice 2 Montrer qu'un graphe est biparti si et seulement si il ne contient pas de chaîne fermée de longueur impair. Solution: Soit G = (VE) un graphe
( ) un vecteur directeur de D. Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM ! "!!
Réciproquement si u est un vecteur propre de f
On a également d'apr`es le corollaire 13 qu'une matrice est inversible si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul ou encore si et seulement si ses
Si E est de dimension finie une application linéaire est définie de façon L'application f:Kn ? K est une forme linéaire si et seulement s'il existe a1 ...
Soit f ? L(E) avec E de dimension finie. Alors f est diagonalisable si et seulement si
On rappelle qu'une fonction f de R dans R est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur R Ceci s'écrit avec des quantificateurs : (?
La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des sardines 8 Les poiriers ne donnent pas de melons et Cléopâtre n'est pas chinoise
Deux applications sont égales si et seulement si elles prennent les mêmes valeurs ?n ? N f(n) = fp(n) En particulier pour n = p f(p) =
L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F ? E telle que f ? g = idF et g ? f = idE 2 Si f est bijective alors l'
Un produit cartésien de deux ensembles est vide si et seulement si l'un au moins des deux ensembles est vide Généralisation - Si on consid`ere des ensembles E1
Un ensemble E est fini si E = ? ou si ?n ? N? tel que E est en bijection Il existe une application injective de E dans F si et seulement si
n si et seulement si p = q ou p+q = n 3 Résoudre l'équation C3n?1 2n+4 = Cn2?2n+3 2n+4 [000226] Exercice 168 Soient mn ? N
En regardant la dernière colonne on se rend compte que P est faux si et seulement si p est faux et q est faux et r est vraie ou en formule que
Si de plus (G ) est d'ordre fini on dit que (G ) est cyclique Exemples 1 (Z +) est monogène infini engendré par 1 ou ?1