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Nota Informativa nº 9/2020-SE/GAB/SE/MS
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Introduction aux distributions Le concept (révolutionnaire) de distribution est plus un point de vue nouveau sur les fonctions qui permet de voir certaines«fonctions»lamassedeDiracen0lafonctiondeHeavyside considéréestoutletempsparlesphysiciens commedevraies«fonctionsgénéralisées»(distributionsdonc)
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FICHE TD 6 - Distributions La fonction H= 1]0;+1[est la fonction de Heaviside et 1 [a;b] est l’indicatrice de l’intervalle [a;b] a est la distri-bution de Dirac en a a(’) = ’(a):? T designe le peigne de Dirac de periode T>0 ? T (’) = P n2Z ’(nT) Exercice 1 D eterminer les d eriv ees premi ere T0et seconde T00des distributions
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pour toute "au sens des distributions" En n ce chapitre permet de nous concentrer sur l’essence m^eme des distributions: la dualit e et de laisser de c^ot e les autres concepts d’analyse que l’on retrouvera par la suite Pour commencer un cours sur les distributions il est fondamental de bien conna^ tre la topologie de RN le
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L’espace des distributions D0 est aussi un espace vectoriel sur C il su?t pour cela de d´e?nir la somme T 1 +T 2 de deux distributions ainsi que le produit aTd’un nombre complexe aet d’une distribution T On d´e?nit =+ pour tout ?dans D et = a pour tout nombre complexe aet tout ?dans D
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Introduction aux distributions sur R Classe de Schwarz distributions tempérées 702 Statistique et probabilités (8 ects 30h CM + 50h TD) Pré-requis : Licence de mathématiques ou niveau équivalent Contenu pédagogique - Estimation : propriétés d'un estimateur méthode des moments et du maximum de vraisemblance
Qu'est-ce que la distribution d'ordre 1 ?
- est d’ordre 1 on en d´eduit en particulier qu’il n’existe pas de fonction f 2 L1 loc (R) telle que vp1 x= T f. Cette distribution apparaˆ?tra a nouveau plus loin dans le cours et en TDs. Tout comme la dis-` tribution de Dirac, elle constitue un des premiers exemples d’objets nouveaux introduits par la theorie des distributions.´
Qu'est-ce que la Theorie des distributions ?
- Nous allons maintenant voir, et c’est l`a l’un des concepts les plus etonnants de la´ theorie des distributions, que l’on peut d´ eriver´ a n’importe quel ordre une distribution quel-` conque et que cette d´erivation est une op eration continue. La situation est donc totalement´ differente du cadre des fonctions d´ erivables classiques.
Qu'est-ce que l'espace des distributions ?
- En cons´ equence,´ l’espace des distributions est un espace tres gros.` Cette d´e?nition abstraite des distributions pourra etre utilisˆ ee pour des questions th´ eoriques,´ mais pour montrer en pratique qu’une forme lin´eaire sur D(W) est une distribution, nous lui pref´ ererons la d´ ´e?nition ´equivalente qui suit. 4.1.2 De?nition´ par l’ordre
Qui a inventé la distribution ?
- Distributions sur un ouvert de Rd La theorie des distributions a´ et´ e introduite par Laurent Schwartz en 1945, posant les id´ ees´ qui etaient d´ ej´ a en germe chez Sergue` ¨? Sobolev dans les ann ees 30.
