Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. CONVEXITÉ. I. Fonction convexe et fonction concave. Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. CONTINUITE ET. CONVEXITE. I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires.
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https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Tlccfct.pdf
Démonstration : Pour tout réel >0 (ln ) = > 0. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Convexité. Propriété : La
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ANGLES. Le mot « angle » vient du grec « agkon » (= coude).
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. 3) Convexité. Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur 0;+????? .
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION EXPONENTIELLE ET 2) Étudier la convexité de la fonction .
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 Pour x?0 la courbe est au-dessus de sa tangente La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 5 Propriété : Au point d'inflexion la fonction change de convexité Exemple :
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 8 On peut ainsi résumer les variations de I? et la convexité de I dans le tableau suivant : I(7)=257 Ainsi le point de coordonnées (7 ; 257) est un point d'inflexion de la courbe 3) Avant le point d'inflexion la fonction est concave la croissance du coût de fabrication I
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 2) Valeurs intermédiaires Théorème des valeurs intermédiaires : On considère la fonction f définie et continue sur un intervalle [ a ; b] Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) l'équation f (x) =k admet au moins une solution dans l'intervalle [ a ; b]
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES CONTINUITÉ CONVEXITÉ I Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction ! admet pour limite # en +? si !(’) est aussi proche de # que l’on veut pourvu que ’ soit suffisamment grand Exemple :
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques Remarque : Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =x Conséquences : a) y =lnx avec x >0 ?x =ey b) ln1=0 ; lne =1 ; ln 1 e =?1 c) Pour tout x lnex =x
Ceci montre que f0est croissante et donne donc bien le résutat Exercice 2 (Fonctions convexes et fonctions af?nes) Soit Iun intervalle ouvert de R On note A (I) l’ensemble des fonctions af?nes dé?nies sur I 1 Montrer qu’une fonction ’: I!R est convexe si et seulement si pour tout x2I on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2
Théorème (Caractérisation de la convexité par les pentes des sécantes inégalité des pentes) Soit f: I ?? R une fonction (i) Caractérisation de la convexité par les pentes des sécantes : f est convexe sur I si et seulement si pour tout a ? I la fonction x ?? f (x)? f (a) x ?a est croissante sur I a a b c b b b
Term_Maths Cours_04 2022 - Continuité dérivabilité et convexité docx 3/3 h Dérivée d’une composée Rappel de 1ère : Dérivée d’une composée affine avec a et b deux constantes Si g est dérivable et que f(x) = g(ax + b) alors f est dérivable et f’(x) = a × g’(ax + b) Application : Avec a et b deux constantes
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 8 Propriété : Si ! et F sont deux solutions de l’équation différentielle R’=>R >??
4 ma 066 : Optimisation numérique et science des données 2021 2022 Feuille d'exercices n 2 Convexité Exercice 1 rai/fauxV Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Le cas échéant fournir un contre-exemple (a) L'intersection de deux ensembles convexes est convexe (b) L'union de deux ensembles convexes est convexe
« aA et B sont deux points d'abscisses et b de la courbe cf d'une fonction f Si on peut tracer cf entre A et B sans lever le crayon alors toute droite d'équation k = où est un réel compris entre ff(a)et (b) coupe la courbe cf en au moins un point » Propriété 1 Soit f une fonction définie continue et