Proposition 11.7 (Inégalité de Jensen généralisée). Soit (?A
Proposition (Inégalité de Jensen). Soient X une v.a. intégrable et G une sous-tribu de F. Soit g : R ?? R une fonction convexe telle que E[
Pour les derniers points (convergence dominée conditionnelle et inégalité de Jensen conditionnelle) il suffit de reprendre les démonstrations faites dans le
encore une inégalité un résultat de convergence
(anbn) de couples de réels telle que ?x ? R
On appelle espérance conditionnelle de X (on la note E !X = 5" ou E& !X") sa projection Proposition 3:(inégalité de Jensen au conditionnel).
1.5.8 A propos de l'inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 1.5.9 Espérance conditionnelle et meilleure approximation Fn-mesurable.
Propriétés de l'espérance conditionnelle. (2.1a) Linéarité. (2.1d Inégalité de Jensen) ... Montrer l'inégalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le.
et S une sous-tribu de J. On appelle espérance conditionnelle de Z sachant S l'unique Il suffit maintenant d'appliquer l'inégalité de Jensen.
11.3 Propriétés spécifiques de l'espérance conditionnelle . Théor`eme 4.1.2 (Inégalité de Jensen) Supposons que µ est une mesure de probabilité.
1 3 Propriétés fondamentales de l’espérance conditionnelle Propriété1 3[Inégalité de Jensen]Soient’: IR!IRconvexe X2L1(;F;IP) unevaret Gunesous-tribu
La fonction inverse est convexe donc l’inégalité de Jensen conditionnelledonne E M 1 n+1 jF n E[M n+1jF n] 1 = M 1 n; donc(M 1 n) n 0 estbienunesous-martingale DeplussiM n+1 n’estpasF n-mesurable(cequi doit être le cas en pratique) alors l’inégalité est stricte En?n si M n est la valeur en euros d’undollaralorsM 1
Espérance conditionnelle 1 Introduction Pour de nombreux problèmes concrets (prédiction observation incomplète etc ) il est important de pouvoir estimer une variable aléatoire sur laquelle on n’a qu’une information partielle Dès lors on comprendl’importancedelanotiond’espéranceconditionnelle
P p s On parlera alors de Y comme (d’une version) de l’esp´erance conditionnelle et on la notera E(XG) Avant d’entamer la preuve de l’existence de l’esp´erance conditionnelle faisons quelques re-marques Notations 1) Quand on consid`ere au lieu de G la tribu engendr´ee par une variable al´eatoire Z(resp
(inégalité de convexité généralisée) Considérations générales : Une démonstration classique mais riche en passages techniques et intéressants Correction : 1) On nous demande tout simplement de généraliser l’inégalité de convexité (qui compare
les atomes de la partition associ´ee a la tribu F toute combinaison lin´eaires ?X + µY pour ? et µ r´eels quelconques est encore F-mesurable Proposition 3 3 Soient X une v a et F une tribu L’esp´erance conditionnelle de X par rapport a la tribu F est la projection orthogonale de X sur le sous espace G des v a F-mesurables