une fonction convexe n'a qu'un nombre fini de minima

Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. – Le nombre ?x + (1 ? ?)y ? ? [0

Puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de bases réalisables (au plus Cm Notons que la fonction objectif de ce dernier problème n'a aucun lien avec la.

13 janv. 2020 Table des matières. 1 Convexes fonctions convexes. 1. 1.1 Ensembles convexes dans un espace vectoriel

2.2.2 Exemples des fonctions convexes strictement convexes et fortement convexes . On supposera dans ce cours qu'il y a un nombre finit noté n ? IN.

Exercice : montrez que dans un convexe K un point x ? K est extrêmal si et seulement valables pour tout q ? ?(B)

COROLLAIRE 4 . - Pour qu'un ensemble fermé do R soit une pyramide convexe il faut et il suffit que ce soit l'intersection d'un nombre fini do demi-espaces.

Si la fonction dérivée f/ est strictement positive sur I (sauf en un nombre fini de points) alors f est strictement croissante sur I. En particulier :.

du probl`eme du fabricant et que le prix minimal que puisse proposer le solution optimale en un nombre fini d'étapes si la fonction objectif est ...

est un cône convexe limité par des hyperplans. On peut démontrer qu'il n'a effectivement qu'un nombre fini de faces à partir de l'inégalité (3) généralisée.

convexe avec xi ? A telle que la longueur k est minimal; alors ti > 0 pour (yn)n?N est dans conv(K) il y a seulement un nombre fini de coordonnées yn.

Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe Par contre s’il est vrai qu’une fonction convexe possède des sections convexes (par convention l’ensemble vide est convexe) il existe des fonctions non convexes dont toutes les sections sont convexes

fonction convexes définies sur un nombre fini de points 1 - Considérons m «4-2) points ordonnés (1) x

Une fonction fest dite (strictement) concave si fest (strictement) convexe –Le nombre x+ (1 )y 2[0;1] est une combinaison convexe de xet y c’est-à-dire un barycentre à coef?cients positifs (voir Exercice 1) – Interprétation géométrique : Soit C f la courbe représentative de fdans le repère orthonormé usuel de R2

(d) outT demi-espace d'un espace de Hilbert est convexe (e) Une somme de fonctions convexes est convexe (f) outeT combinaison linéaire de fonctions convexes est convexe (g) La composée de deux fonctions convexe est convexe (h) outeT norme est convexe (i) Le carré de toute norme est convexe Exercice 2 Cas di érentiable Soit n2N et 0

Dans cette section nous allons d ecrire les m ethodes les plus classiques n’utilisant que le gradient de la fonction f pour approcher les solutions du probl eme suivant : min u2X f(x): (18) 2 3 1 Descente de gradient a pas xe La m ethode du gradient a pas xe est extr emement simple a d ecrire

3) Soit f une fonction convexe sur l'intervalle I et a, b, c trois éléments de cet intervalle vérifiant a

tersection d'un nombre fini de demi-espaces de E × R, qui sont des ensembles de la forme {(x, α) ∈ E × R normé, f : E → R une fonction convexe et x ∈ E un point tel que f(x) soit fini Cette dernière a un minimum yx = 0 unique en y quel

b) si I est fini et si (λi)i∈I est une famille de réels positifs, alors ∑ i∈I λifi est convexe 2) Si C est un convexe de IRn, si f est une fonction convexe de C sur IR et si Si x est un minimum local, alors, pour θ assez petit, on a f(x + θ(y − x)) − f (x) 

3) Caractérisation des fonctions convexes dérivables Si f′′ > 0 sur I sauf peut-être en un nombre fini de points, alors f est strictement convexe sur I Si f′ ′ < 0 sur I sauf La fonction g admet donc un minimum en a égal à g(a) = 0

Plus fondamentalement, des fonctions convexes prenant la valeur +∞ apparaissent de manière très Soit f : E → R atteignant son minimum m = minE f En inversant les rôles de x et y on finit de démontrer la borne sur la constante de On conclut en utilisant le fait qu'une fonction croissante ne peut avoir qu'un nombre

Le nombre λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1] est une combinaison convexe de x et y, c'est- à-dire un Ainsi, une fonction est convexe si et seulement si la courbe Cf est située On applique le théorème des accroissements finis entre x et λx+ (1−λ)y De plus, par hypothèse 0 est un minimum local de ϕ et donc par l'inégalité des  

En dimension finie, une fonction convexe est continue dans l'intérieur de son f : x ↦→ ex est convexe sur R Elle est minorée mais n'atteint pas son minimum Alors D est un cône engendré par un nombre fini de vecteurs (rappelons que H 

17 déc 2009 · Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction f est dite croissante dénombrable dense de [0, 1] et αn une suite infinie de nombre stricte- Les lignes de niveaux d'une fonction convexe sont des ensembles 3 1 Théorème des accroissements finis dans un evn réalisant le minimum est un convexe

nombre de dérivées usuelles 4 en a, alors f (a)=0 Démonstration : Si a est un minimum local de f, alors c'est un maximum local de −f : quitte à Graphiquement, le théorème des accroissements finis dit que la courbe représenta- tive de f sur [a, FiGURe 6 – Courbe représentative d'une fonction convexe Proposition 8