Optimisation - Examen en pr esentiel du 04/01/2021

Proposition 33 2 Soit f une fonction convexe d´eﬁnie sur un intervalle I La fonction f est strictement convexe si et seulement si il n’existe aucun intervalle de longueur non nulle sur lequel f co¨ıncide avec une fonction aﬃne Preuve Supposons que la restriction de f a [x,y], x 6= y, co¨ıncide avec une fonction aﬃne ϕ

Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques

et la fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0 —Une fonction convexe n’est pas nécessairement dérivable On peut penser à la fonction f(x) = jxjsur R par exemple —Si fest deux fois dérivable sur I, alors elle est convexe (resp strictement convexe) si et seulement

Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques

fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0 –Une fonction convexe n’est pas nécessairement dérivable On peut penser à la fonction f(x) = jxjsur R par exemple –Si fest deux fois dérivable sur I, alors elle est convexe (resp strictement convexe) si et seulement si f00 0 (resp f00>0

etiennemiquey[at]ens-lyonfr Fonctions convexes

En revanche, une fonction convexe n’est pas n´ecessairement d´erivable, mais si elle l’est, on peut en d´eduire certaines propri´et´es Th´eor`eme 8 Soit f convexe sur [a,b] Alors f est continue sur ]a,b[ Il est a noter que la continuit´e est bien sur l’intervalle ouvert, il peut se passer des choses bizarres au bord sinon : 0 1

FONCTIONS CONVEXES - ISIMA

En général, la composition de deux fonctions convexes n’est pas convexe On a par contre le résultat suivant : Lemme 3 1 Soit f une fonction convexe sur le sous-ensemble C de IRn, et φ une fonction convexe non décroissante de f(C) dans IR Alors h = φ f est convexe sur C Démonstration : Exercice Composition par une transformation

Analyse 20 – Fonctions convexes d’une variable r´eelle

convexe si f > 0 et logf est convexe Exemple: Γ(x) = R +∞ 0 e−ttx−1dt Une fonction log-convexe est convexe Th´eor`eme 9 L’ensemble des fonc-tions log-convexes sur I est stable par +, ×, et passage a la limite si celle-ci existe et est strictement po-sitive 5 Fonctions midconvexes D´eﬁnition 3 Une fonction f : I → R est dite

Fonctions convexes dune variable réelle Applications

Fonctions convexes d’une variable r eelle Applications 2 Convexit e et d erivation Proposition 2 1 Soit fune fonction convexe sur I Alors : (i) fadmet une d eriv ee a gauche et a droite en tout point aint erieur a Iet f0

Leçon 74 : Fonctions convexes d’une variable réelle

− Une fonction aﬃne est convexe sur R − La fonction :x x est convexe sur R − Une fonction continue et aﬃne par morceaux formée de plusieurs graphes de fonctions aﬃnes de pentes de plus en plus grandes lorsque n varie de a à b (a

f mid-convexe

Une fonction convexe est trivialement mid-convexe, et il n’est pas diﬃcile de d´emontrer qu’une fonction mid-convexe et continue est convexe Il est alors l´egitime de se demander s’il existe des fonctions mid-convexes r´eelles qui ne sont pas convexes? La r´eponse a cette question n’est pas ´evidente