rang d'une matrice inversible

multiplication d’une matrice par un scalaire : AI()λpn==()λλIAA 3 4 Matrices Inversibles Définition Une matrice carrée A d’ordre n est dite inversible ou non singulière s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que AB =BA =In Une telle matrice B est unique d’ordre n; on l’appelle matrice inverse de A et on la

1 Echelonnement d’une matrice rang calcul de l’inverse Exercice 1 * Échelonner les matrices suivantes trouver leur rang et dire si elles sont inversibles Le cas échéant calculer leurs inverses par échelonnement total : 1 0 0 1 0 1 ! ! 2 1 1 3

2 PCSI Année 2014-2015 Rang d'une matrice: cours et exercices 1er juin 2015 II Matrices échelonnées Définition 2 Soit A 2 Mnp (K) La matrice A est chelonnéé e (en lignes) si : toute ligne non nulle de A ommencce avec strictement plus de zéros que la ligne prdenteécé ; en-dessous d'une ligne nulle on ne eutp trouver qu'une ligne nulle

On note GLn(R) (ou plus simplement GLn) l’ensemble des matrices inversibles Proposition 1 La matrice N quand elle existe est alors unique On l’appelle matrice inverse de M on la note M 1 Preuve Supposons qu’il existe N et N0 dans M n telles que MN = NM = In et MN0 = N0M = In On a en particulier MN = In

Toute matrice inversible est carr ́ee et pour une matrice carr ́ee de Mn(K) on a : A inversible () rangA = n On dit aussi r ́eguli`ere pour inversible Corollaire Le rang d’une matrice 2 Mn;p(K) est ́egal `a l’ordre de la plus grande sous matrice carr ́ee r ́eguli`ere que l’on peut extraire de A

Une matrice inversible admet un unique inverse pour des matrices carrées Supposons qu’il existe deux matrices B1 et B2 dans Mn( ) telles que AB1 = B1A = In et AB2 = B2A = In R Alors en particulier (B1A)B2 = InB2 = B2 et (B1A)B2 = B1(AB2) = B1In = B1 et donc B1 = B2