Chapitre 4 - Fractions rationnelles - Décomposition en éléments









EXERCICE NO 4 : Fractions irréductibles EXERCICE NO 4 : Calcul

10440. 2. 5220. 2. 2610. 2. 1305. 3. 435. 3. 145. 5. 29. 29. 1. 10440 = 2×2×2×3×3×5×29. 11515. 5. 2303. 7. 329. 7. 47. 47. 1. 11515 = 5×7×7×47. 6909.
ExoTech


PGCD et Fractions irréductibles

« On peut soustraire au maximum 191 fois le nombre. 40 au nombre 7668. » Page 2. 2. Diviseurs communs à deux entiers. Activité : Donner la liste de 
PGCD et Fractions irreductibles


Cahier d'exercices d'arithmétique (collège) 6 - Fractions irréductibles 6

La notion de fraction irréductible n'apparaît qu'en classe de troisième. II. Simplification de fractions opérations
arith


Chapitre 4 - Fractions rationnelles - Décomposition en éléments

Une fraction rationnelle non nulle a un nombre fini de zéros. Exemple. Soit F(X) = X2. 3X + 2. X4. 1 . F n'est pas sous forme irréductible car on a :.
Chapitre





Introduction à la décomposition en éléments simples des fractions

qui est sa forme irréductible. Son degré est 3 − 5 = −2. Remarques. Le degré d'une fraction rationnelle est donc soit un entier relatif soit −∞.
FractionsRationnellesDES


Exercice 1 - Rend irréductibles les fractions suivantes

Page 1. Fractions irréductibles : gamme 01. Exercice 1. Rend irréductibles les fractions suivantes. A. B. C. 2016. 2016. 1. 5040. 252. 693. 1344. 2.
fra irr


Amérique du Sud-novembre-2014.

Calculer les valeurs exactes données en fractions irréductibles de u1 et u2 . 2. Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 .
terminale s novembre amerique du sud ex nonspe


Fractions rationnelles

[006964]. Exercice 2. Soit F = P. Q une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu'il existe une fraction ration- nelle G telle que.
fic





THEME :

a)Calculer A et écrire la réponse sous forme de fraction irréductible. Exercice 4 : Brevet des Collèges – Afrique II - 2001. On donne le nombre.
Les fractions au Brevet


Polynômes et fractions rationnelles

une fraction rationnelle irréductible. Les racines du polynôme P sont appelées les racines ou les zéros de F. Les racines du polynôme Q sont appelées les pôles 
polynomediapo


182743 Chapitre 4 - Fractions rationnelles - Décomposition en éléments

Chapitre4

Fractionsrationnelles-

D´ecompositionen´el´ementssimples

4.1Fractio nsrationnelles

Danstoutlep aragraphe,Kd´esigneuncorpscommutati f(dansl apratiqueRouC).

4.1.1Construction desfractions

Relationd'´equivalence

Surl'ense mbledescouples(A,B)de K[X]!K[X]

,ond ´efi nitlarelation"par(A,B)"(C,D) siAD=BC .

Proposition4.1"estune relationd'´ equivalence.

D´emonstration:Montronsque"estunere lationr´efle xive,sym´etriquee ttransitive. •PourA#K[X] ,ona A.A=A.Adon c(A,A)"(A,A)."estr´efle xive. •Soient(A,B)et (C,D)dansK[X]!K[X] .Su pposons(A,B)"(C,D).Onaalor sAD=BC doncCB=DA.P arsuite (C,D)"(A,B)."estbien sym´etrique. •Soient(A 1 ,B 1 ),(A 2 ,B 2 )et(A 3 ,B 3 )dan sK[X]!K[X] .Su pposons(A 1 ,B 1 )"(A 2 ,B 2 )et (A 2 ,B 2 )"(A 3 ,B 3 ).Onaal orsA 1 B 2 =B 1 A 2 etA 2 B 3 =B 2 A 3 etdoncA 1 B 2 A 2 B 3 =B 1 A 2 B 2 A 3

CommeB

2 A 2 $=0,l apr oposition 1.9(int´egrit´edeK[X])condui t`aA 1 B 3 =B 1 A 3 soit (A 1 ,B 1 )"(A 3 ,B 3 )."esttransit ive.! D´efinition4.2Onapp ellefractionrationnelletouteclassed'´ equivale ncepour".L'ensemble desfracti onsrationnellesestnot´eK(X). Notation.Lacl assed'´equivalenc ede(A,B)estn ot´eeF= A B etondit que A B estun repr´esentantdeF.

Remarque.Onadon cpar d´efinition :

A B

Chapitre4

Fractionsrationnelles-

D´ecompositionen´el´ementssimples

4.1Fractio nsrationnelles

Danstoutlep aragraphe,Kd´esigneuncorpscommutati f(dansl apratiqueRouC).

4.1.1Construction desfractions

Relationd'´equivalence

Surl'ense mbledescouples(A,B)de K[X]!K[X]

,ond ´efi nitlarelation"par(A,B)"(C,D) siAD=BC .

Proposition4.1"estune relationd'´ equivalence.

D´emonstration:Montronsque"estunere lationr´efle xive,sym´etriquee ttransitive. •PourA#K[X] ,ona A.A=A.Adon c(A,A)"(A,A)."estr´efle xive. •Soient(A,B)et (C,D)dansK[X]!K[X] .Su pposons(A,B)"(C,D).Onaalor sAD=BC doncCB=DA.P arsuite (C,D)"(A,B)."estbien sym´etrique. •Soient(A 1 ,B 1 ),(A 2 ,B 2 )et(A 3 ,B 3 )dan sK[X]!K[X] .Su pposons(A 1 ,B 1 )"(A 2 ,B 2 )et (A 2 ,B 2 )"(A 3 ,B 3 ).Onaal orsA 1 B 2 =B 1 A 2 etA 2 B 3 =B 2 A 3 etdoncA 1 B 2 A 2 B 3 =B 1 A 2 B 2 A 3

CommeB

2 A 2 $=0,l apr oposition 1.9(int´egrit´edeK[X])condui t`aA 1 B 3 =B 1 A 3 soit (A 1 ,B 1 )"(A 3 ,B 3 )."esttransit ive.! D´efinition4.2Onapp ellefractionrationnelletouteclassed'´ equivale ncepour".L'ensemble desfracti onsrationnellesestnot´eK(X). Notation.Lacl assed'´equivalenc ede(A,B)estn ot´eeF= A B etondit que A B estun repr´esentantdeF.

Remarque.Onadon cpar d´efinition :

A B
  1. les fractions irréductibles