Interférences : Fondamentaux

216862

Interférences et Diffraction

PICART PASCAL - SURREL JOËLLEInterférences :

Fondamentaux

Table des matières

Table des matières3

I - Cours5 A. Description ondulatoire de la lumière...................................................................................................................................

5 1. Formalisme de Maxwell...................................................................................................................................................

5 2. Solutions harmoniques des équations de propagation.........................................................................................................

7 B. Superposition de deux ondes électromagnétiques : généralités.......................................................................................

14 1. Notations.......................................................................................................................................................................

14 2. Champ résultant de la superposition...............................................................................................................................

15 3. Notion de cohérence........................................................................................................................................................

15 4. Signal d'interférences.......................................................................................................................................................

16 5. Cas de deux ondes planes...............................................................................................................................................

19 6. Cas de deux ondes sphériques.........................................................................................................................................

22 C. Cohérence Temporelle...........................................................................................................................................................

27 1. Interférogramme en lumière polychromatique...................................................................................................................

28 2. Longueur de cohérence....................................................................................................................................................

30 3. Illustrations....................................................................................................................................................................

36 D. Cohérence spatiale.................................................................................................................................................................

43 1. Interférogramme avec source étendue................................................................................................................................

43 2. Évaluation de la différence de marche.............................................................................................................................

44 3. Deux types d'interféromètres...........................................................................................................................................

45 4. Éclairement en un point d'observation............................................................................................................................

46 5. Illustration.....................................................................................................................................................................

47

II - Etude de cas : interférences en lumière parfaitement cohérente53 A. Étude du dispositif des trous d'Young en lumière monochromatique..........................................................................

54 B. Cas de la lumière blanche......................................................................................................................................................

55

III - Exercice auto correctif57 A. Questions de cours.................................................................................................................................................................

57 B. Enoncé......................................................................................................................................................................................

58 C. Enoncé.....................................................................................................................................................................................

58 D. Enoncé.....................................................................................................................................................................................

59

Solution des exercices de TD63

Bibliographie73

3

I - CoursI

Description ondulatoire de la lumière5

Superposition de deux ondes électromagnétiques : généralités10

Cohérence Temporelle17

Cohérence spatiale44

La propagation de la lumière peut être interprétée en terme de rayons lumineux indiquant la trajectoire suivie

par la lumière. Par exemple, dans un milieu transparent homogène et isotrope, la lumière se propage de façon

rectiligne. Cette approche est suffisante pour décrire un grand nombre de phénomènes lumineux. Cependant,

les interférences lumineuses ne peuvent être décrites par une approche de type géométrique car la lumière se

propage aussi sous forme d'ondes. Vers 1869, le physicien anglais Maxwell établit que cette onde peut être

décrite par des ondes électromagnétiques constituées d'un champ électrique E et un champ magnétique B.

Le phénomène d'interférences intervient lorsque l'énergie, l'éclairement ou l'intensité résultant de la

superposition de deux rayonnements n'est pas la somme de leurs énergies, éclairements ou de leurs intensités

respectivement. Historiquement, ce résultat a beaucoup surpris au point qu'on a parlé du paradoxe des

interférences, parfois résumé de façon provocante par lumière + lumière = obscurité.

Ce cours se propose d'aborder le cas des interférences à deux ondes, planes ou sphériques, d'analyser les

effets de la largeur spectrale et spatiale de la source. L'étude de cas et la partie exercices traiteront de la

réalisation d'interférences entre deux ondes à l'aide un dispositif de type trous d'Young.

A. Description ondulatoire de la lumière

1. Formalisme de Maxwell

Pour représenter une onde lumineuse, on lui associe comme grandeur physique les champs électrique

Eet magnétique

B , décrits par une fonction de l'espace r=xexyeyzezet du temps t. Maxwell a montré

que ces deux champs se propagent de façon couplée dans un milieu selon les équations suivantes (connues

sous le nom " d'équations de Maxwell ») [ [1] ] : 5 Cours

où μ est la perméabilité du milieu, ε est la permittivité du milieu,  est lié aux charges libres et de

polarisation du milieu et Jest lié aux courants de conduction et de polarisation du milieu. Pour le vide,

μ0=4×10-7et 0=8,857×10-12et on a 0μ0c2=1, c étant la vitesse de propagation dans le vide

c=3×108m/s. Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope, en absence de charges libres, nous avons

J=0, =0et ε est une constante. C'est le cas, par exemple, du verre non contraint ou de l'air.

Les équations de Maxwell conduisent aux équations de propagation des champs magnétiques et électriques

dont la forme générale est : où

est l'opérateur Laplacien vectoriel (on a =∇2), n est l'indice de réfraction du milieu de

propagation. Cette équation est également vérifiée par le champ magnétique.

On remarque que toutes les composantes de

E, {Ex,Ey,Ez}, et de B,{ Bx,By,Bz}, suivent la même équation de propagation : et ainsi pour {Ey, Ez, Bx, By, Bz}.

Il est donc possible de synthétiser le comportement de ces composantes, par une unique onde scalaire

Ur,trégit par l'équation de propagation, Ur,treprésentant l'une des composantes {Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz}. Une onde polarisée rectiligne suivant x s'écrit : avec :

Dans le cas où la propagation de l'onde présente une symétrie sphérique, le changement en coordonnées

6 {divB=0 rotE=-∂B ∂t divE= rotB=μJμ∂E ∂t E-n2 c2 ∂2E ∂t2=0 Ex-n2 c2 ∂2Ex ∂t2=0 Ur,t-n2 c2 ∂2Ur,t ∂t2=0 Er,t=Ur,tex {Ex=Ur,t Ey=0 Ez=0 Cours sphériques r,,φamène à l'équation d'onde suivante : où r=∣r∣.

2. Solutions harmoniques des équations de propagation

Les solutions de l'équation de propagation sont des fonctions scalaires ou vectorielles. Elles doivent

reproduire " à un instant ultérieur » la même fonction " plus loin ». Pour être solution de l'équation, la

fonction sera une fonction du type : t±n cr. Généralement, pour les ondes se propageant vers les rpositifs on s'intéresse aux solutions harmoniques qui s'écrivent : où k=ku0 est le vecteur d'onde : et

u0représente le vecteur orthonormé ∣u0∣=1décrivant la direction de propagation de l'onde, est la

longueur d'onde dans le vide et m la longueur d'onde dans le milieu. Pour les ondes se propageant vers les r négatifs on s'intéresse aux solutions harmoniques qui s'écrivent :

Dans le cas où l'onde est plane et monochromatique, la propagation est rectiligne, suivant z par exemple,

dans le vide l'équation de propagation s'écrit simplement : et la solution se propageant vers les z positifs est :

Rappel

La surface d'onde est définie, à un instant donné, par l'ensemble des points de l'espace dont la phase de

l'onde, kz-φ0-t, est identique.

La surface d'onde associée à la propagation est donnée par des plans équiphases tels que :

7 1 r2 ∂rr2∂U ∂r-n2 c2 ∂2U ∂t2=0 ft-n cr=Arexp[ik.r-t] k=∣k∣=n c=2n =2 m gtn cr=Arexp[ik.r-t] ∂2Ur,t ∂z2-n2 c2 ∂2Ur,t ∂t2=0 Ur,t=Uz,t=A0exp[ikz-φ0-t] kz-φ0-t=constante Cours elle est perpendiculaire au vecteur d'onde k.

Dans le cas où l'onde est sphérique, la propagation est à symétrie sphérique et la solution se propageant

vers les rpositifs est :

Dans ce cas, la composante du champ ne dépend que de r avec un système de coordonnées centré sur le

point de convergence (ou de divergence). Il s'agit du point source si c'est une onde divergente. d'un point de

focalisation si c'est une onde convergente.

La surface équiphase qui décrit la surface d'onde est une sphère centrée sur le point source. Une onde

divergente s'écrit :

Pour une onde convergente :

Il est utile d'expliciter le formalisme dans le cas d'un système de cordonnées rectangulaires (cartésien). Sur la

figure 1, la source est située au point de cordonnées XS,YS,zet l'onde se propage suivant les z positifs.

D'après la figure, on constate que :

Le front d'onde propagé dans le plan

x,y,zd0situé à la distance zd0de la source s'écrit [ [1] ] :

Cette expression ne se manipule pas facilement. Afin de réduire la complexité de l'écriture en coordonnées

cartésiennes, on introduit des approximations sur la distance d0entre la source et le front d'onde observé.

Les approximations sont basées sur un développement de la racine carrée présente dans la fonction

exponentielle [ [1] ]. En effet, dans le cas où a≪1, nous avons :

8 Figure 1 : Géométrie en coordonnées cartésiennes

Ur,t=A0

rexp[i-tkr-φ0]

Ur,t=A0

rexp-itexpikr-φ0

Ur,t=A0

rexp-itexp-ikr-φ0 r=d0

2x-XS2y-YS2

Ux,y,zd0,t=A0exp-it exp[2i d0

2x-XS2y-YS2

]d0

2x-XS2

Interférences et Diffraction

PICART PASCAL - SURREL JOËLLEInterférences :

Fondamentaux

Table des matières

Table des matières3

I - Cours5 A. Description ondulatoire de la lumière...................................................................................................................................

5 1. Formalisme de Maxwell...................................................................................................................................................

5 2. Solutions harmoniques des équations de propagation.........................................................................................................

7 B. Superposition de deux ondes électromagnétiques : généralités.......................................................................................

14 1. Notations.......................................................................................................................................................................

14 2. Champ résultant de la superposition...............................................................................................................................

15 3. Notion de cohérence........................................................................................................................................................

15 4. Signal d'interférences.......................................................................................................................................................

16 5. Cas de deux ondes planes...............................................................................................................................................

19 6. Cas de deux ondes sphériques.........................................................................................................................................

22 C. Cohérence Temporelle...........................................................................................................................................................

27 1. Interférogramme en lumière polychromatique...................................................................................................................

28 2. Longueur de cohérence....................................................................................................................................................

30 3. Illustrations....................................................................................................................................................................

36 D. Cohérence spatiale.................................................................................................................................................................

43 1. Interférogramme avec source étendue................................................................................................................................

43 2. Évaluation de la différence de marche.............................................................................................................................

44 3. Deux types d'interféromètres...........................................................................................................................................

45 4. Éclairement en un point d'observation............................................................................................................................

46 5. Illustration.....................................................................................................................................................................

47

II - Etude de cas : interférences en lumière parfaitement cohérente53 A. Étude du dispositif des trous d'Young en lumière monochromatique..........................................................................

54 B. Cas de la lumière blanche......................................................................................................................................................

55

III - Exercice auto correctif57 A. Questions de cours.................................................................................................................................................................

57 B. Enoncé......................................................................................................................................................................................

58 C. Enoncé.....................................................................................................................................................................................

58 D. Enoncé.....................................................................................................................................................................................

59

Solution des exercices de TD63

Bibliographie73

3

I - CoursI

Description ondulatoire de la lumière5

Superposition de deux ondes électromagnétiques : généralités10

Cohérence Temporelle17

Cohérence spatiale44

La propagation de la lumière peut être interprétée en terme de rayons lumineux indiquant la trajectoire suivie

par la lumière. Par exemple, dans un milieu transparent homogène et isotrope, la lumière se propage de façon

rectiligne. Cette approche est suffisante pour décrire un grand nombre de phénomènes lumineux. Cependant,

les interférences lumineuses ne peuvent être décrites par une approche de type géométrique car la lumière se

propage aussi sous forme d'ondes. Vers 1869, le physicien anglais Maxwell établit que cette onde peut être

décrite par des ondes électromagnétiques constituées d'un champ électrique E et un champ magnétique B.

Le phénomène d'interférences intervient lorsque l'énergie, l'éclairement ou l'intensité résultant de la

superposition de deux rayonnements n'est pas la somme de leurs énergies, éclairements ou de leurs intensités

respectivement. Historiquement, ce résultat a beaucoup surpris au point qu'on a parlé du paradoxe des

interférences, parfois résumé de façon provocante par lumière + lumière = obscurité.

Ce cours se propose d'aborder le cas des interférences à deux ondes, planes ou sphériques, d'analyser les

effets de la largeur spectrale et spatiale de la source. L'étude de cas et la partie exercices traiteront de la

réalisation d'interférences entre deux ondes à l'aide un dispositif de type trous d'Young.

A. Description ondulatoire de la lumière

1. Formalisme de Maxwell

Pour représenter une onde lumineuse, on lui associe comme grandeur physique les champs électrique

Eet magnétique

B , décrits par une fonction de l'espace r=xexyeyzezet du temps t. Maxwell a montré

que ces deux champs se propagent de façon couplée dans un milieu selon les équations suivantes (connues

sous le nom " d'équations de Maxwell ») [ [1] ] : 5 Cours

où μ est la perméabilité du milieu, ε est la permittivité du milieu,  est lié aux charges libres et de

polarisation du milieu et Jest lié aux courants de conduction et de polarisation du milieu. Pour le vide,

μ0=4×10-7et 0=8,857×10-12et on a 0μ0c2=1, c étant la vitesse de propagation dans le vide

c=3×108m/s. Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope, en absence de charges libres, nous avons

J=0, =0et ε est une constante. C'est le cas, par exemple, du verre non contraint ou de l'air.

Les équations de Maxwell conduisent aux équations de propagation des champs magnétiques et électriques

dont la forme générale est : où

est l'opérateur Laplacien vectoriel (on a =∇2), n est l'indice de réfraction du milieu de

propagation. Cette équation est également vérifiée par le champ magnétique.

On remarque que toutes les composantes de

E, {Ex,Ey,Ez}, et de B,{ Bx,By,Bz}, suivent la même équation de propagation : et ainsi pour {Ey, Ez, Bx, By, Bz}.

Il est donc possible de synthétiser le comportement de ces composantes, par une unique onde scalaire

Ur,trégit par l'équation de propagation, Ur,treprésentant l'une des composantes {Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz}. Une onde polarisée rectiligne suivant x s'écrit : avec :

Dans le cas où la propagation de l'onde présente une symétrie sphérique, le changement en coordonnées

6 {divB=0 rotE=-∂B ∂t divE= rotB=μJμ∂E ∂t E-n2 c2 ∂2E ∂t2=0 Ex-n2 c2 ∂2Ex ∂t2=0 Ur,t-n2 c2 ∂2Ur,t ∂t2=0 Er,t=Ur,tex {Ex=Ur,t Ey=0 Ez=0 Cours sphériques r,,φamène à l'équation d'onde suivante : où r=∣r∣.

2. Solutions harmoniques des équations de propagation

Les solutions de l'équation de propagation sont des fonctions scalaires ou vectorielles. Elles doivent

reproduire " à un instant ultérieur » la même fonction " plus loin ». Pour être solution de l'équation, la

fonction sera une fonction du type : t±n cr. Généralement, pour les ondes se propageant vers les rpositifs on s'intéresse aux solutions harmoniques qui s'écrivent : où k=ku0 est le vecteur d'onde : et

u0représente le vecteur orthonormé ∣u0∣=1décrivant la direction de propagation de l'onde, est la

longueur d'onde dans le vide et m la longueur d'onde dans le milieu. Pour les ondes se propageant vers les r négatifs on s'intéresse aux solutions harmoniques qui s'écrivent :

Dans le cas où l'onde est plane et monochromatique, la propagation est rectiligne, suivant z par exemple,

dans le vide l'équation de propagation s'écrit simplement : et la solution se propageant vers les z positifs est :

Rappel

La surface d'onde est définie, à un instant donné, par l'ensemble des points de l'espace dont la phase de

l'onde, kz-φ0-t, est identique.

La surface d'onde associée à la propagation est donnée par des plans équiphases tels que :

7 1 r2 ∂rr2∂U ∂r-n2 c2 ∂2U ∂t2=0 ft-n cr=Arexp[ik.r-t] k=∣k∣=n c=2n =2 m gtn cr=Arexp[ik.r-t] ∂2Ur,t ∂z2-n2 c2 ∂2Ur,t ∂t2=0 Ur,t=Uz,t=A0exp[ikz-φ0-t] kz-φ0-t=constante Cours elle est perpendiculaire au vecteur d'onde k.

Dans le cas où l'onde est sphérique, la propagation est à symétrie sphérique et la solution se propageant

vers les rpositifs est :

Dans ce cas, la composante du champ ne dépend que de r avec un système de coordonnées centré sur le

point de convergence (ou de divergence). Il s'agit du point source si c'est une onde divergente. d'un point de

focalisation si c'est une onde convergente.

La surface équiphase qui décrit la surface d'onde est une sphère centrée sur le point source. Une onde

divergente s'écrit :

Pour une onde convergente :

Il est utile d'expliciter le formalisme dans le cas d'un système de cordonnées rectangulaires (cartésien). Sur la

figure 1, la source est située au point de cordonnées XS,YS,zet l'onde se propage suivant les z positifs.

D'après la figure, on constate que :

Le front d'onde propagé dans le plan

x,y,zd0situé à la distance zd0de la source s'écrit [ [1] ] :

Cette expression ne se manipule pas facilement. Afin de réduire la complexité de l'écriture en coordonnées

cartésiennes, on introduit des approximations sur la distance d0entre la source et le front d'onde observé.

Les approximations sont basées sur un développement de la racine carrée présente dans la fonction

exponentielle [ [1] ]. En effet, dans le cas où a≪1, nous avons :

8 Figure 1 : Géométrie en coordonnées cartésiennes

Ur,t=A0

rexp[i-tkr-φ0]

Ur,t=A0

rexp-itexpikr-φ0

Ur,t=A0

rexp-itexp-ikr-φ0 r=d0

2x-XS2y-YS2

Ux,y,zd0,t=A0exp-it exp[2i d0

2x-XS2y-YS2

]d0

2x-XS2