FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTESL
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
lnx − lna x − a. = 1 a . Exemple : Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8. Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+
LogTS
Fonction logarithme népérien - L'essentiel du cours
▷ Exemple : La fonction f définie par f(x)=ln(x − 1) n'est définie que sur ]1 ; +∞[ car il faut que x − 1 soit strictement positif. b) Lien entre ln x et ex.
resume cours logarithme
La fonction logarithme népérien
3 déc. 2014 On conclut donc que ln ab = ln a + ln b. Remarque : C'est cette propriété qui est à l'origine de la fonction logarithme. Exemple : ln 2 + ln ...
Cours fonction logarithme neperien
FONCTION LOGARITHME
Conséquence : L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentant ln. Exemples : Etudier la limite en +∞ de chacune des fonctions suivantes. a
COURS Logarithme
Fonction Logarithme népérien 1. De l'exponentielle au logarithme
s'appelle la fonction logarithme népérien et se note ln (lire « LN »). On écrit t = ln(x) ou simplement t = ln x. Exemples : i) Pour x = −7
Fonction logarithme népérien
considérée admet x = 1 comme unique solution. Exemple : Résoudre dans l'intervalle I les inéquations suivantes : 1. ln(2x) < ln(x +7)
ECT Cours Chapitre
T ES Fonction exponentielle
réciproque de la fonction logarithme népérien. Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) . Exemples : ln 1 = 0.
exponentielles
Terminale ES - Fonction logarithme népérien
I) La fonction logarithme népérien d'un réel strictement positif Exemple 1 : 3 + 2 + ln 5 = ln (3 × 2 × 5) = ln(30). Exemple 2 : ln (.
Term ES Fonction logarithme neperien
TS La fonction logarithme népérien Plan du chapitre :
Ce résultat est un nombre complexe qui sera interprété plus tard dans le supérieur avec les fonctions complexes. *Par exemple le calcul de. ( ) ln –1 sur la
TS Cours sur fonction logarithme népérien version
DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07 La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07
La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex
- logarithme népérien exemple