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Licence 1er semestre
Guy Laffaille
Christian Pauly
janvier 2006 2Table des mati`eres
1 Les nombres r´eels et complexes 5
1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2 Logique et langage des ensembles 15
2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3 Suites r´eelles et complexes 21
3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
4 Fonctions d"une variable r´eelle 39
4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
5 D´eveloppements limit´es 55
5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
34TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 63
6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
7 Corrig´e des exercices 69
Remerciements.
Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD. Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices. Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.Chapitre 1
Les nombres r´eels et complexes
1.1 Nombres rationnels
On d´esigne parNl"ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3,...}.
Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels non nuls. ´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombres x+y,x-y,x·yetxy ,siy?= 0.On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.
Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.
On cr´ee ainsi de nouveaux nombres
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},
l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- et Q=?ab |a?Zetb?Z?? l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction ab aveca·nb·npour touta?Z etb,n?Z?.On a bien entendu les inclusions suivantes
N?Z?Qet les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombres
rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombres rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire des nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA56CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC
b caSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme dePythagore dit qu"on a la relation
a2=b2+c2.
Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.
Proposition 1.1.1Le nombre
⎷2n"est pas un nombre rationnel. D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.1 Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a
2b2=a2.
Donca2est pair. Siaest impair, on peut ´ecrirea= 2a?+ 1, alorsa2= 4a?2+ 4a?+ 1 qui est impair. On en d´eduit donc queaestpair, donc on peut ´ecrirea= 2a?, ce qui donne 2b2= 4a?2et en simplifiant par 2, on obtient b2= 2a?2.
C"est la mˆeme ´equation que ci-dessus aveca?`a la place debetb`a la place dea. Le mˆeme raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et⎷2 ne peut pas ˆetre rationnel.Voici d"autres exemples de nombres irrationnels.Cours d"analyse 1
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Guy Laffaille
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janvier 2006 2Table des mati`eres
1 Les nombres r´eels et complexes 5
1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2 Logique et langage des ensembles 15
2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3 Suites r´eelles et complexes 21
3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
4 Fonctions d"une variable r´eelle 39
4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
5 D´eveloppements limit´es 55
5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
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6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
7 Corrig´e des exercices 69
Remerciements.
Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD. Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices. Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.Chapitre 1
Les nombres r´eels et complexes
1.1 Nombres rationnels
On d´esigne parNl"ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3,...}.
Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels non nuls. ´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombres x+y,x-y,x·yetxy ,siy?= 0.On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.
Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.
On cr´ee ainsi de nouveaux nombres
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},
l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- et Q=?ab |a?Zetb?Z?? l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction ab aveca·nb·npour touta?Z etb,n?Z?.On a bien entendu les inclusions suivantes
N?Z?Qet les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombres
rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombres rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire des nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA56CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC
b caSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme dePythagore dit qu"on a la relation
a2=b2+c2.
Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.
Proposition 1.1.1Le nombre
⎷2n"est pas un nombre rationnel. D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.1 Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a