FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
On la note lna . La fonction logarithme népérien notée ln
LogTS
LOGARITHME NEPERIEN
.. x ∈ IR+. * y = ln x. ⇔ y ∈ IR e y. = x traduit le fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une ...
ln
Fonction Logarithme Népérien - Bamako
D'où ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[. Page 3. Cours Fonction logarithme. Page 3 sur 5. Adama Traoré Professeur Lycée Technique.
courloga
Fonctions exponentielle et logarithme népérien. Applications. 1 Mon
Propriétés de l'exponentielle complexe. Programmes informatiques possibles. Tracés des courbes représentatives des fonctions de la leçon à l'aide de GeoGebra.
Leçon M MEEF
Chapitre V : Logarithme népérien
LEÇON 05: FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. A. SITUATION D'APPRENTISSAGE La fonction logarithme népérien notée ln
Fonction logarithme népérien
La fonction ln est définie sur l'intervalle ]0;+∞[. 2. ln(1) = 0. 3. Pour tout réel x > 0 ln′(x) = 1 x.
ECT Cours Chapitre
Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths
On appelle fonction logarithme népérien la bijection réciproque de la fonction de l'application réciproque (voir théorème 5.4. de la leçon sur.
expln
Fonction logarithme népérien cours de Terminale S
Feb 12 2018 On appelle fonction logarithme népérien et on note ln la fonction qui à tout réel x strictement positif associe l'unique réel y tel que ey = ...
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La fonction logarithme népérien
Dec 3 2014 On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Remarque : Cette fonction existe bien car la fonction ...
Cours fonction logarithme neperien
Cours Terminale L La fonction logarithme népérien
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien notée ln. Ainsi
coursTL logarithmes
Cours Terminale L La fonction logarithme népérien
1. La fonction logarithme népérien
1.1. Définition: La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ?.
L'équation exp(x) = y où y est un réel strictement positif admet une solution unique x sur ?.
Cette solution est notée ln(y), c'est-à-dire que exp(ln(y)) = y.Il existe une fonction définie sur ]0; + ? [ qui à tout réel y > 0, associe l'unique réel x tel que exp(x) = y.
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien , notée ln.Ainsi, exp(x) = y équivaut à ln(y) = x. Pour tout réel x, ex = y équivaut à pour tout réel y strictement positif, ln(y) = x .
On a donc pour tout réel x, ln(exp(x)) = x, ou ln(ex ) = x . De plus, pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, ou e ln(x) = x .On dit que ln est la bijection réciproque
de exp.La fonction ln est définie sur ]0; + ? [.
1.2. Propriétés 1: ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln ?
1 e? = - 1. Ceci découle de e0 = 1 ; e1 = e ; e- 1 = 1 e.1.3. Propriétés 2: Pour tous réels a et b strictement positifs:
ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; la fonction ln transforme un produit en une somme. ln 1 b? = - ln(b) ; la fonction ln transforme un inverse en un opposé. ln a b? = ln(a) - ln(b) ; la fonction ln transforme un quotient en une différence.Pour tout entier relatif n, ln(an) = nln(a); ln(
?a) = 12ln(a).
1.4. Exercices :
Simplifier les écritures suivantes: a) ln8 + ln4 - ln(24) ; b) ln
47 + ln3
4 + ln9; c) lna2
b + lnb3 a4 ; d) ln(e3) - ln(e- 2 ) ; e) ln(e ?e) - ln(1 e) ; f) ln12 + ln2
3 + ln3
4 + ... + lnn
n?1 pour n ?? ? .2. Étude de la fonction logarithme népérien
2.1. Fonction dérivée
Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; + ? [ et ln(x)' = 1 x. Démonstration: On sait que pour tout réel x, exp(ln(x)) = x .En dérivant cette expression, on trouve exp'(ln(x)) ? ln'(x) = 1, et comme exp' = exp, alors exp(ln(x))? ln'(x) = 1. de
plus, exp(ln(x)) = x, ainsi x? ln'(x) = 1, d'où ln(x)' = 1 x.Donc pour tout x > 0, la dérivée de ln est strictement positive et la fonction ln est strictement croissante. Elle conserve
l'ordre sur ]0; + ? [.Remarque: La fonction ln est donc continue, puisque dérivable et strictement croissante sur ]0; + ? [, donc pour tous
réels a et b strictement positifs, lna = lnb entraîne a = b; et lna > lnb entraîne a > b. De plus, pour a > 1, ln(a) > 0 et pour 0 < a < 1, ln(a) < 0.2.2. Limites aux bornes
Théorème : lim
x???lnx??? et lim x?0lnx???. Démonstration : Soit M un réel. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; + ? [, pour x > eM , ln(x) > ln(eM) = M. Donc ln(x) est aussi grand que l'on veut, donc lim x???lnx???.En prenant X =
1 x, soit x = 1X, lorsque x tend vers 0+ , 1
Xtend vers +? ;
lim x?0lnx = limX???ln?
1X? = lim
X????ln?X? = - ?.
2.3. Représentation graphique
Quelques tangentes remarquables:
La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation : y = 1(x - 1) + ln1 = x - 1. La tangente au point d'abscisse e a pour équation : y = 1 e(x - e) + lne = 1 ex - 1 + 1 = x e. Cette tangente passeCours Terminale L La fonction logarithme népérien
1. La fonction logarithme népérien
1.1. Définition: La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ?.
L'équation exp(x) = y où y est un réel strictement positif admet une solution unique x sur ?.
Cette solution est notée ln(y), c'est-à-dire que exp(ln(y)) = y.Il existe une fonction définie sur ]0; + ? [ qui à tout réel y > 0, associe l'unique réel x tel que exp(x) = y.
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien , notée ln.Ainsi, exp(x) = y équivaut à ln(y) = x. Pour tout réel x, ex = y équivaut à pour tout réel y strictement positif, ln(y) = x .
On a donc pour tout réel x, ln(exp(x)) = x, ou ln(ex ) = x . De plus, pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, ou e ln(x) = x .On dit que ln est la bijection réciproque
de exp.La fonction ln est définie sur ]0; + ? [.
1.2. Propriétés 1: ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln ?
1 e? = - 1. Ceci découle de e0 = 1 ; e1 = e ; e- 1 = 1 e.1.3. Propriétés 2: Pour tous réels a et b strictement positifs:
ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; la fonction ln transforme un produit en une somme. ln 1 b? = - ln(b) ; la fonction ln transforme un inverse en un opposé. ln a b? = ln(a) - ln(b) ; la fonction ln transforme un quotient en une différence.Pour tout entier relatif n, ln(an) = nln(a); ln(
?a) = 12ln(a).
1.4. Exercices :
Simplifier les écritures suivantes: a) ln8 + ln4 - ln(24) ; b) ln
47 + ln3
4 + ln9; c) lna2
b + lnb3 a4 ; d) ln(e3) - ln(e- 2 ) ; e) ln(e ?e) - ln(1 e) ; f) ln12 + ln2
3 + ln3
4 + ... + lnn
n?1 pour n ?? ? .2. Étude de la fonction logarithme népérien
2.1. Fonction dérivée
Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; + ? [ et ln(x)' = 1 x. Démonstration: On sait que pour tout réel x, exp(ln(x)) = x .En dérivant cette expression, on trouve exp'(ln(x)) ? ln'(x) = 1, et comme exp' = exp, alors exp(ln(x))? ln'(x) = 1. de
plus, exp(ln(x)) = x, ainsi x? ln'(x) = 1, d'où ln(x)' = 1 x.Donc pour tout x > 0, la dérivée de ln est strictement positive et la fonction ln est strictement croissante. Elle conserve
l'ordre sur ]0; + ? [.Remarque: La fonction ln est donc continue, puisque dérivable et strictement croissante sur ]0; + ? [, donc pour tous
réels a et b strictement positifs, lna = lnb entraîne a = b; et lna > lnb entraîne a > b. De plus, pour a > 1, ln(a) > 0 et pour 0 < a < 1, ln(a) < 0.2.2. Limites aux bornes
Théorème : lim
x???lnx??? et lim x?0lnx???. Démonstration : Soit M un réel. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; + ? [, pour x > eM , ln(x) > ln(eM) = M. Donc ln(x) est aussi grand que l'on veut, donc lim x???lnx???.En prenant X =
1 x, soit x = 1X, lorsque x tend vers 0+ , 1
Xtend vers +? ;
lim x?0lnx = limX???ln?
1X? = lim
X????ln?X? = - ?.
2.3. Représentation graphique
Quelques tangentes remarquables:
La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation : y = 1(x - 1) + ln1 = x - 1. La tangente au point d'abscisse e a pour équation : y = 1 e(x - e) + lne = 1 ex - 1 + 1 = x e. Cette tangente passe- logarithme népérien exercice corrigé
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