Fonction logarithme népérien

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©Pascal Brachet -www.xm1math.net - Licence CC BY NC SA - Utilisation commerciale in terditeFonction logarithme népérien

Exprimer les nombres suivants en fonction deln(2):

1.ln(8)

2.ln(8) + ln(32)

3.ln(64)-ln(8)

4.ln(16)-3ln(2)

Exprimer les nombres suivants en fonction deln(3): (eest le nombre tel quelne = 1)

1.ln19

2.ln(81)-2ln(3)

3.ln3e

4.ln9e2

Dériver la fonctionfdans les cas suivants :

1.fest définie sur]0; +∞[parf(x) =xlnx

2.fest définie sur]0; +∞[parf(x) = (lnx)2

3.fest définie sur]0; +∞[parf(x) =1lnx

4.fest définie sur]0; +∞[parf(x) =4lnxx

2

Déterminer les limites suivantes :

1.limx→+∞3x+ lnx

2.limx→0

x>0lnxx

3.limx→+∞x(1-lnx)

4.limx→0

x>03(lnx) +x25.limx→0 x>01x -lnx

Résoudre dansRles équations suivantes :

1.ln(x+ 1) = 0

2.ln(2-3x) = ln4

3.ln(4x) = ln(x-3)

4.ln(x-1) + ln(x-2) = ln6

5.lnx= 4

6.ln(2x) = 5

7.ln(3x) = 1

8.ln(1 +x) =-2

Résoudre dansRles inéquations suivantes :

1.ln(x+ 1)⩽0

2.lnx⩾3

3.1-lnx⩾0

Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =x+ lnx. Déterminer les limites defen0et en+∞et étudier ses variations sur]0;+∞[. Soitfla fonction définie sur[0,5; +∞[parf(x) =x(lnx-1). 1.

Déterminer la limite de fen+∞.

2.

Étudier les v ariationsde fsur[0,5; +∞[.

3.

Étudier le signe de f(x)sur[0,5; +∞[.

Quand l"oreille d"un individu est soumise à une pression acoustiquex, exprimée en bars, l"intensité sonore, exprimée en décibels, du bruit responsable de cette pression est donnée par : f(x) = 8,68×lnx+ 93,28 1.

Calculer l"in tensitésonore corresp ondanteà une pression acoustique de 5bars.Exercices Fonction logarithme népérien - Maths Complémentaires - 1

©Pascal Brachet -www.xm1math.net - Licence CC BY NC SA - Utilisation commerciale in terdite2.Justifier que fest une fonction strictement croissante sur]0; +∞[.

3.

Déterminer la limite de fen+∞.

4. Un individu normal ne p eutsupp orterun bruit sup érieurà 120 décib els. a) On c hercheà connaitre le premier nom breen tierxde bars pour lequel l"intensitéf(x)dépasse 120 décibels à l"aide d"un script python. Pour cela on part d"une pressionx= 1que l"on augmente de1tant que cela est nécessaire.

Compléter la 3

eligne du code python ci-dessous pour qu"il réponde au problème :from math import* x=1 while 8.68*log(x)+93.28......: x=x+1 print(x)Remarque : avec python le logarithme népérien est donné par log() b) Résoudre dans ]0; +∞[l"équationf(x) = 120et retrouver ce que devrait afficher le script python. La fonctionBdéfinie sur[1; 6]parB(x) =-x2+ 10x-9-8lnxreprésente le bénéfice mensuel (en dizaines de milliers d"euros) réalisé par une entreprise lors de la vente dexcentaines d"objets produits par mois. En étudiant les variations deB, déterminer la quantité d"objets à produire par mois pour obtenir un bénéfice mensuel maximal. Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) = 3-2x-lnx. 1.

Déterminer les limites de fen0et en+∞.

2. Dériv erfet étudier ses variations sur]0;+∞[. 3. Déterminer une équation de la tangen teà la courb ereprésen tativede fau point d"abscisse1. 4. Étudier, p arle calcul, la p ositionre lativede la courb ereprésen tativede fet de la droiteDd"équationy= 3-2xsur]0;+∞[. 5. Justifier que l"équation f(x) = 0admet une unique solutionx0dans[1; 2]. Déterminer une valeur approchée dex0à0,1près par défaut. 6.

Justifier que fest convexe sur]0;+∞[.

Dériver la fonctionfdans les cas suivants :1.fest définie sur]2; +∞[parf(x) = ln(3x-6)

2.fest définie surRparf(x) = ln(1 +x2)

3.fest définie sur]-∞; 2[parf(x) = ln(-2x+ 4)

4.fest définie sur]0; +∞[parf(x) = ln

3 +1x

5.fest définie sur]2; +∞[parf(x) = ln3xx-2

Une étude portant sur le prix d"un type de cahiers aboutit à la modélisation suivante : •fest la fonction définie sur]0 ; 1]parf(x) =-4 lnx; •gest la fonction définie sur]0 ; 1]parg(x) = 4 ln(6x+ 1); •f(x)etg(x)représentent respectivement la quantité de cahiers demandée et offerte, exprimée en milliers, en fonction du prix unitairexdu cahier exprimé en euros. 1.

Déterminer les limites des foncti onsfetgen0.

2. Étudier les v ariationsdes fonctions fetgsur]0 ; 1]et dresser leur tableau de variation. 3. En économie, le prix d"équilibre e stla v aleurde xpour laquellef(x) =g(x). Déterminer la valeur exacte de ce prix d"équilibre. Déterminer, dans chacun des cas suivants, le plus petit entier positifnvérifiant la relation donnée :

1.3n⩾800

2.13 n ⩽0,01

3.(1,03)n⩾2

4.(0,95)n⩽0,2

Le pH d"une solution est défini parpH =-log[H3O+]où[H3O+]désigne la concentration en moles par litre d"ionsH3O+contenus dans la solution. 1. Une solution de 1 50millilitres admet une concen trationd"ions H3O+de10-2 moles par litre. a)

Calculer le pH de cette solution.

b)

Com biende moles d"ions H3O+contient cette solution?Exercices Fonction logarithme népérien - Maths Complémentaires - 2

©Pascal Brachet -www.xm1math.net - Licence CC BY NC SA - Utilisation commerciale in terdite2.On a jouteà la solution 850 millilitres d"eau distillée.

a) Quelle est la concen trationen ions H3O+dans la nouvelle solution obtenue? b)

En déduire le nouv eaupH.

L"échelle de Richter sert à mesurer la puissance d"un tremblement de terre. La magnitude d"un séisme sur cette échelle est donnée parM= logAA 0 oùA représente l"amplitude maximale des ondes relevée par un sismographe etA0une amplitude référence. 1.

Que v aut

AA

0pour un séisme de magnitude égale à 5?

2. Si l"amplitude maximale des onde sAest multipliée par 100, de combien aug- mente la magnitude? Pour mesurer la perte de puissance dans une fibre optique, on utilise le coeffi- cient d"atténuation (exprimé en décibels par kilomètre) défini parA=1L

×10×

logPeP s oùLest la longueur (en kilomètres) de la fibre optique,Peest la puis- sance (en mW) du signal lumineux à l"entrée de la fibre etPsest la puissance (en mW) du signal lumineux à la sortie de la fibre. 1. Un tec hnicieneffectue une mesure à la sortie d"une fibre de 5 km don tla puissance d"entrée estPe= 5 mW. Il obtient une puissance de sortie égale à P s= 3,5 mW. Calculer la valeur du coefficient d"atténuation correspondant. 2.

Lorsque Ps=110

×Pe, on considère que la fibre optique doit-être remplacée. Quelle est alors la valeur deApour une fibre de 10 km? 3.

Expliquer p ourquoile c oefficientd"attén uationne p eutpas être né gatif.Exercices Fonction logarithme népérien - Maths Complémentaires - 3

©Pascal Brachet -www.xm1math.net - Licence CC BY NC SA - Utilisation commerciale in terditeFonction logarithme népérien

Exprimer les nombres suivants en fonction deln(2):

1.ln(8)

2.ln(8) + ln(32)

3.ln(64)-ln(8)

4.ln(16)-3ln(2)

Exprimer les nombres suivants en fonction deln(3): (eest le nombre tel quelne = 1)

1.ln19

2.ln(81)-2ln(3)

3.ln3e

4.ln9e2

Dériver la fonctionfdans les cas suivants :

1.fest définie sur]0; +∞[parf(x) =xlnx

2.fest définie sur]0; +∞[parf(x) = (lnx)2

3.fest définie sur]0; +∞[parf(x) =1lnx

4.fest définie sur]0; +∞[parf(x) =4lnxx

2

Déterminer les limites suivantes :

1.limx→+∞3x+ lnx

2.limx→0

x>0lnxx

3.limx→+∞x(1-lnx)

4.limx→0

x>03(lnx) +x25.limx→0 x>01x -lnx

Résoudre dansRles équations suivantes :

1.ln(x+ 1) = 0

2.ln(2-3x) = ln4

3.ln(4x) = ln(x-3)

4.ln(x-1) + ln(x-2) = ln6

5.lnx= 4

6.ln(2x) = 5

7.ln(3x) = 1

8.ln(1 +x) =-2

Résoudre dansRles inéquations suivantes :

1.ln(x+ 1)⩽0

2.lnx⩾3

3.1-lnx⩾0

Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =x+ lnx. Déterminer les limites defen0et en+∞et étudier ses variations sur]0;+∞[. Soitfla fonction définie sur[0,5; +∞[parf(x) =x(lnx-1). 1.

Déterminer la limite de fen+∞.

2.

Étudier les v ariationsde fsur[0,5; +∞[.

3.

Étudier le signe de f(x)sur[0,5; +∞[.

Quand l"oreille d"un individu est soumise à une pression acoustiquex, exprimée en bars, l"intensité sonore, exprimée en décibels, du bruit responsable de cette pression est donnée par : f(x) = 8,68×lnx+ 93,28 1.

Calculer l"in tensitésonore corresp ondanteà une pression acoustique de 5bars.Exercices Fonction logarithme népérien - Maths Complémentaires - 1

©Pascal Brachet -www.xm1math.net - Licence CC BY NC SA - Utilisation commerciale in terdite2.Justifier que fest une fonction strictement croissante sur]0; +∞[.

3.

Déterminer la limite de fen+∞.

4. Un individu normal ne p eutsupp orterun bruit sup érieurà 120 décib els. a) On c hercheà connaitre le premier nom breen tierxde bars pour lequel l"intensitéf(x)dépasse 120 décibels à l"aide d"un script python. Pour cela on part d"une pressionx= 1que l"on augmente de1tant que cela est nécessaire.

Compléter la 3

eligne du code python ci-dessous pour qu"il réponde au problème :from math import* x=1 while 8.68*log(x)+93.28......: x=x+1 print(x)Remarque : avec python le logarithme népérien est donné par log() b) Résoudre dans ]0; +∞[l"équationf(x) = 120et retrouver ce que devrait afficher le script python. La fonctionBdéfinie sur[1; 6]parB(x) =-x2+ 10x-9-8lnxreprésente le bénéfice mensuel (en dizaines de milliers d"euros) réalisé par une entreprise lors de la vente dexcentaines d"objets produits par mois. En étudiant les variations deB, déterminer la quantité d"objets à produire par mois pour obtenir un bénéfice mensuel maximal. Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) = 3-2x-lnx. 1.

Déterminer les limites de fen0et en+∞.

2. Dériv erfet étudier ses variations sur]0;+∞[. 3. Déterminer une équation de la tangen teà la courb ereprésen tativede fau point d"abscisse1. 4. Étudier, p arle calcul, la p ositionre lativede la courb ereprésen tativede fet de la droiteDd"équationy= 3-2xsur]0;+∞[. 5. Justifier que l"équation f(x) = 0admet une unique solutionx0dans[1; 2]. Déterminer une valeur approchée dex0à0,1près par défaut. 6.

Justifier que fest convexe sur]0;+∞[.

Dériver la fonctionfdans les cas suivants :1.fest définie sur]2; +∞[parf(x) = ln(3x-6)

2.fest définie surRparf(x) = ln(1 +x2)

3.fest définie sur]-∞; 2[parf(x) = ln(-2x+ 4)

4.fest définie sur]0; +∞[parf(x) = ln

3 +1x

5.fest définie sur]2; +∞[parf(x) = ln3xx-2

Une étude portant sur le prix d"un type de cahiers aboutit à la modélisation suivante : •fest la fonction définie sur]0 ; 1]parf(x) =-4 lnx; •gest la fonction définie sur]0 ; 1]parg(x) = 4 ln(6x+ 1); •f(x)etg(x)représentent respectivement la quantité de cahiers demandée et offerte, exprimée en milliers, en fonction du prix unitairexdu cahier exprimé en euros. 1.

Déterminer les limites des foncti onsfetgen0.

2. Étudier les v ariationsdes fonctions fetgsur]0 ; 1]et dresser leur tableau de variation. 3. En économie, le prix d"équilibre e stla v aleurde xpour laquellef(x) =g(x). Déterminer la valeur exacte de ce prix d"équilibre. Déterminer, dans chacun des cas suivants, le plus petit entier positifnvérifiant la relation donnée :

1.3n⩾800

2.13 n ⩽0,01

3.(1,03)n⩾2

4.(0,95)n⩽0,2

Le pH d"une solution est défini parpH =-log[H3O+]où[H3O+]désigne la concentration en moles par litre d"ionsH3O+contenus dans la solution. 1. Une solution de 1 50millilitres admet une concen trationd"ions H3O+de10-2 moles par litre. a)

Calculer le pH de cette solution.

b)

Com biende moles d"ions H3O+contient cette solution?Exercices Fonction logarithme népérien - Maths Complémentaires - 2

©Pascal Brachet -www.xm1math.net - Licence CC BY NC SA - Utilisation commerciale in terdite2.On a jouteà la solution 850 millilitres d"eau distillée.

a) Quelle est la concen trationen ions H3O+dans la nouvelle solution obtenue? b)

En déduire le nouv eaupH.

L"échelle de Richter sert à mesurer la puissance d"un tremblement de terre. La magnitude d"un séisme sur cette échelle est donnée parM= logAA 0 oùA représente l"amplitude maximale des ondes relevée par un sismographe etA0une amplitude référence. 1.

Que v aut

AA

0pour un séisme de magnitude égale à 5?

2. Si l"amplitude maximale des onde sAest multipliée par 100, de combien aug- mente la magnitude? Pour mesurer la perte de puissance dans une fibre optique, on utilise le coeffi- cient d"atténuation (exprimé en décibels par kilomètre) défini parA=1L

×10×

logPeP s oùLest la longueur (en kilomètres) de la fibre optique,Peest la puis- sance (en mW) du signal lumineux à l"entrée de la fibre etPsest la puissance (en mW) du signal lumineux à la sortie de la fibre. 1. Un tec hnicieneffectue une mesure à la sortie d"une fibre de 5 km don tla puissance d"entrée estPe= 5 mW. Il obtient une puissance de sortie égale à P s= 3,5 mW. Calculer la valeur du coefficient d"atténuation correspondant. 2.

Lorsque Ps=110

×Pe, on considère que la fibre optique doit-être remplacée. Quelle est alors la valeur deApour une fibre de 10 km? 3.

Expliquer p ourquoile c oefficientd"attén uationne p eutpas être né gatif.Exercices Fonction logarithme népérien - Maths Complémentaires - 3