Logarithmes et exposants

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Le Centre d"

´educationen math´ematiques et en informatique

Ateliers en ligne Euclide

Atelier n

o1

Logarithmes et exposants

c

2014 UNIVERSITY OF WATERLOO

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o#1 LOGARITHMES ET EXPOSANTSBOˆITE`A OUTILS Soita,b,xetydes nombres r´eels etnun entier non nul. Voici les lois des exposants : a 1n =npa a

0= 1(a6= 0)ax=1a

x(a6= 0) a xay=ax+yaxa y=axy(a6= 0)(ax)y=axy a xbx= (ab)xaxb x=ab x (b6= 0) De plus,00n"est pas d´efini s"il survient dans n"importe laquelle de ces formules. Soita,xetydes nombres r´eels non nuls. Voici les lois des logarithmes : log a(xy) = logax+ logaylogaxy = log axlogay log a(xy) =ylogaxloga(ax) =alogax=xloga1 = 0 log ax=1log xalog axlog ay= logyx Sif(x) =ax, alorsf1(x) = logax. Il faut savoir tracer la repr´esentation graphique defet def1. Voici le graphique dey= 2x, suivi de celui dey= log2x:x 32
y 1 10 0 8 6 -1 4 2 -2 0 -3 x

302520

y 15 4 10 2 0 5 -2 -4LECENTRE D"´EDUCATION EN MATH´EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE2

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o#1 LOGARITHMES ET EXPOSANTSEXEMPLES DE PROBL`EMES

1. Calculer la valeur de

xy , sachant que2log5(x3y) = log5(2x) + log5(2y):

Solution

L"argument de chaque terme logarithmique doit

ˆetre strictement positif. Doncx >0,y >0etx >3y. Or : 2log

5(x3y) = log5(2x) + log5(2y)

log

5(x3y)2= log5(4xy)

Puisqu"une fonction logarithmique est croissante, l" ´egalit´e pr´ec´edente indique que les arguments sont´egaux.

Donc :(x3y)2= 4xy

x

26xy+ 9y2= 4xy

x

210xy+ 9y2= 0

(xy)(x9y) = 0

Doncxy= 0oux9y= 0, d"o`uxy

= 1ouxy = 9. Or d"apr`es les restrictions,xy >3. Doncxy = 9. 2. D

´eterminer toutes les solutions de l"´equation9(7k+ 7k+2) = 5m+3+ 5m,metk´etant des entiers.

Solution

On factorise chaque membre de l"

´equation, ce qui donne :

9(1 + 7

2)7k= 5m(53+ 1)

3

22527k= 5m2327

Puisque chaque membre de l"

´equation est un entier et que la factorisation premi`ere d"un nombre est unique, alors la seule solution estm= 2etk= 1. 3. D ´eterminer les points d"intersection des courbes d´efinies pary= log10(x2)ety= 1log10(x+ 1).

Solution

Puisque l"argument de chaque terme logarithmique doit

ˆetre strictement positif, alorsx2>0etx+ 1>0,

d"o `ux >2. Or : log

10(x2) = 1log10(x+ 1)

log

10(x2) + log10(x+ 1) = 1

log

10[(x2)(x+ 1)] = 1

(x2)(x+ 1) = 10 x

2x2 = 10

x

2x12 = 0

(x4)(x+ 3) = 0

Doncx= 4oux=3. Cette derni`ere est rejet´ee, puisque l"on doit avoirx >2. Doncx= 4. Le point d"inter-

section est(4;log102), ou(4;1log105). Puisquelog102 + log105 = 1, ces deux points sont identiques. LECENTRE D"´EDUCATION EN MATH´EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE3

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o#1 LOGARITHMES ET EXPOSANTS4. R

´esoudre l"´equationlog2(92x) = 3x.

Solution

Puisque l"argument d"un logarithme doit

ˆetre strictement positif, alors9>2x.

log

2(92x) = 3x

(92x) = 23x (92x) =82 x On reportey= 2xdans cette´equation pour obtenir : 9y=8y y

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x(a6= 0) a xay=ax+yaxa y=axy(a6= 0)(ax)y=axy a xbx= (ab)xaxb x=ab x (b6= 0) De plus,00n"est pas d´efini s"il survient dans n"importe laquelle de ces formules. Soita,xetydes nombres r´eels non nuls. Voici les lois des logarithmes : log a(xy) = logax+ logaylogaxy = log axlogay log a(xy) =ylogaxloga(ax) =alogax=xloga1 = 0 log ax=1log xalog axlog ay= logyx Sif(x) =ax, alorsf1(x) = logax. Il faut savoir tracer la repr´esentation graphique defet def1. Voici le graphique dey= 2x, suivi de celui dey= log2x:x 32
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1. Calculer la valeur de

xy , sachant que2log5(x3y) = log5(2x) + log5(2y):

Solution

L"argument de chaque terme logarithmique doit

ˆetre strictement positif. Doncx >0,y >0etx >3y. Or : 2log

5(x3y) = log5(2x) + log5(2y)

log

5(x3y)2= log5(4xy)

Puisqu"une fonction logarithmique est croissante, l" ´egalit´e pr´ec´edente indique que les arguments sont´egaux.

Donc :(x3y)2= 4xy

x

26xy+ 9y2= 4xy

x

210xy+ 9y2= 0

(xy)(x9y) = 0

Doncxy= 0oux9y= 0, d"o`uxy

= 1ouxy = 9. Or d"apr`es les restrictions,xy >3. Doncxy = 9. 2. D

´eterminer toutes les solutions de l"´equation9(7k+ 7k+2) = 5m+3+ 5m,metk´etant des entiers.

Solution

On factorise chaque membre de l"

´equation, ce qui donne :

9(1 + 7

2)7k= 5m(53+ 1)

3

22527k= 5m2327

Puisque chaque membre de l"

´equation est un entier et que la factorisation premi`ere d"un nombre est unique, alors la seule solution estm= 2etk= 1. 3. D ´eterminer les points d"intersection des courbes d´efinies pary= log10(x2)ety= 1log10(x+ 1).

Solution

Puisque l"argument de chaque terme logarithmique doit

ˆetre strictement positif, alorsx2>0etx+ 1>0,

d"o `ux >2. Or : log

10(x2) = 1log10(x+ 1)

log

10(x2) + log10(x+ 1) = 1

log

10[(x2)(x+ 1)] = 1

(x2)(x+ 1) = 10 x

2x2 = 10

x

2x12 = 0

(x4)(x+ 3) = 0

Doncx= 4oux=3. Cette derni`ere est rejet´ee, puisque l"on doit avoirx >2. Doncx= 4. Le point d"inter-

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ˆetre strictement positif, alors9>2x.

log

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(92x) = 23x (92x) =82 x On reportey= 2xdans cette´equation pour obtenir : 9y=8y y