DÉRIVATION (Partie 2)









FONCTION DERIVÉE

Ainsi pour tout x de R {0}
Fonctionderive


Thème 15: Dérivée d'une fonction les règles de calcul

(5x +1)2 . Exercice 15.11: Calculer la dérivée des fonctions suivantes: a) f (x) = ( 
C Theme


LA DÉRIVÉE

Dérivée des fonctions usuelles . 3 2′ indique que l'on effectue la dérivée de la fonction 3 2. Le symbole primé disparaît dès que la dérivée est ...
la derivee


DÉRIVATION (Partie 2)

Définition : La fonction qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '.
Deri TM





DÉRIVATION (Partie 2)

appelée fonction dérivée de f et se note f '. 2) Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f. Ensemble de définition de f. Dérivée f '.
DeriP M


DÉRIVATION (Partie 2)

Dans chaque cas calculer la fonction dérivée de la fonction f : II. Fonction dérivée d'une fonction polynôme. 1) Fonction polynôme de degré 2.
Derivation TM


Tableau de dérivées

I) Dérivées des fonctions usuelles. ∶ II) Dérivées et opérations ... Exemple 1 : Calculer la dérivée de la fonction . ( ) =.
Tableau Derivees


LA DÉRIVÉE SECONDE

La fonction 2 – 4 est telle que ''. 0 pour tout . Elle est donc toujours convexe. Exemple 2. Trouver les intervalles sur lesquels la fonction ln. 1 est concave.
La derivee seconde





Dérivation

On rappelle la définition du taux de variation d'une fonction f entre deux II. Fonction dérivée. 1) Définition. Définition 5 : Soit f une fonction ...
ch derivation


Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle

Il faut appliquer la formule de dérivation du quotient. Solutions des exercices. EXERCICE 19.1 a. ( ). 2.
extrait


223872DÉRIVATION (Partie 2) 1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

DÉRIVATION - Chapitre 2/3

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQ

Partie 1 : Dérivées des fonctions usuelles

1) Exemple :

Démonstration au programme : Dérivée de la fonction carré

Vidéo https://youtu.be/-nRmE8yFSSg

Soit la fonction définie sur ℝ par Démontrons que pour tout réel, on : ′ =2. Calculons le nombre dérivé de la fonction en (nombre réel quelconque).

Pour ℎ≠0 :

= 2+ℎ

Or : lim

= lim

2+ℎ = 2

Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à 2.

On a donc défini sur ℝ une fonction, notée ′ dont l'expression est ′

=2. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de . Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. Démonstration au programme : Dérivée de la fonction inverse

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Soit la fonction définie sur ℝ\{0} par Démontrons que pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2

Pour ℎ≠0 et ℎ≠- :

Or : lim

= lim 5- 1 6 = - Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à - Ainsi, pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

Définitions :

On dit que la fonction est dérivable sur un intervalle ,si elle est dérivable en tout réel

de .

Dans ce cas, la fonction qui à tout réel de associe le nombre dérivé de en est appelée

fonction dérivée de et se note ′.

2) Dérivées des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée

=0 =2 ≥1 entier ≥1 entier +1

Méthode : Dériver les fonctions usuelles

Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA

Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; =-5 ; ℎ

Correction

=100→ =0 =-5→′ =-5 =4 5 6

3) Cas de la fonction racine carrée

On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est définie sur l'intervalle

0;+∞

mais dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[. 3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Démonstration au programme : Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0

Vidéo https://youtu.be/N5wnOoLDrjo

Soit la fonction définie sur

0;+∞

par On calcule le taux d'accroissement de en 0 :

Pour ℎ>0 :

5$% 5 5$%' 5

Or : lim

0+ℎ

0 = lim 1

En effet, lorsque ℎ tend vers 0,

prend des valeurs de plus en plus grandes.

Donc n'est pas dérivable en 0.

Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0. Partie 2 : Opérations sur les fonctions dérivées

1) Opérations sur les fonctions dérivées :

et sont deux fonctions dérivables.

Démonstration au programme pour le produit :

Vidéo https://youtu.be/PI4A8TLGnxE

Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On veut démontrer que pour tout de , on a : lim

Fonction Dérivée

1 4 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 0 1 En passant à la limite lorsque ℎ tend vers 0, on a : lim = ′() et lim Car et sont dérivables sur .

Et,lim

Soit, lim

Ainsi :

Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctions

Vidéo https://youtu.be/ehHoLK98Ht0

Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw

Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM

Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y

Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de : a) =3 +4 b) =5 -3 c)

3

+4

5-1

d) 1

2

2 +5 e)

6-5

2 -2-1

Correction

a) avec =3 =3×2=6 =4 =4

Donc : ′

= 6 + b) avec =5 ()=5×3 =15 =-3 ()=-3×2=-6

Donc :

()=15 +(-6)=15 -6 c) avec =3 +4 → ()=6+4 =5-1 →′ =5

Donc : ′

6+4

5-1

3

1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

DÉRIVATION - Chapitre 2/3

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQ

Partie 1 : Dérivées des fonctions usuelles

1) Exemple :

Démonstration au programme : Dérivée de la fonction carré

Vidéo https://youtu.be/-nRmE8yFSSg

Soit la fonction définie sur ℝ par Démontrons que pour tout réel, on : ′ =2. Calculons le nombre dérivé de la fonction en (nombre réel quelconque).

Pour ℎ≠0 :

= 2+ℎ

Or : lim

= lim

2+ℎ = 2

Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à 2.

On a donc défini sur ℝ une fonction, notée ′ dont l'expression est ′

=2. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de . Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. Démonstration au programme : Dérivée de la fonction inverse

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Soit la fonction définie sur ℝ\{0} par Démontrons que pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2

Pour ℎ≠0 et ℎ≠- :

Or : lim

= lim 5- 1 6 = - Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à - Ainsi, pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

Définitions :

On dit que la fonction est dérivable sur un intervalle ,si elle est dérivable en tout réel

de .

Dans ce cas, la fonction qui à tout réel de associe le nombre dérivé de en est appelée

fonction dérivée de et se note ′.

2) Dérivées des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée

=0 =2 ≥1 entier ≥1 entier +1

Méthode : Dériver les fonctions usuelles

Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA

Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; =-5 ; ℎ

Correction

=100→ =0 =-5→′ =-5 =4 5 6

3) Cas de la fonction racine carrée

On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est définie sur l'intervalle

0;+∞

mais dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[. 3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Démonstration au programme : Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0

Vidéo https://youtu.be/N5wnOoLDrjo

Soit la fonction définie sur

0;+∞

par On calcule le taux d'accroissement de en 0 :

Pour ℎ>0 :

5$% 5 5$%' 5

Or : lim

0+ℎ

0 = lim 1

En effet, lorsque ℎ tend vers 0,

prend des valeurs de plus en plus grandes.

Donc n'est pas dérivable en 0.

Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0. Partie 2 : Opérations sur les fonctions dérivées

1) Opérations sur les fonctions dérivées :

et sont deux fonctions dérivables.

Démonstration au programme pour le produit :

Vidéo https://youtu.be/PI4A8TLGnxE

Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On veut démontrer que pour tout de , on a : lim

Fonction Dérivée

1 4 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 0 1 En passant à la limite lorsque ℎ tend vers 0, on a : lim = ′() et lim Car et sont dérivables sur .

Et,lim

Soit, lim

Ainsi :

Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctions

Vidéo https://youtu.be/ehHoLK98Ht0

Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw

Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM

Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y

Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de : a) =3 +4 b) =5 -3 c)

3

+4

5-1

d) 1

2

2 +5 e)

6-5

2 -2-1

Correction

a) avec =3 =3×2=6 =4 =4

Donc : ′

= 6 + b) avec =5 ()=5×3 =15 =-3 ()=-3×2=-6

Donc :

()=15 +(-6)=15 -6 c) avec =3 +4 → ()=6+4 =5-1 →′ =5

Donc : ′

6+4

5-1

3


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  2. dérivée fonction implicite