SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES









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213730 SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES

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SUITESETSÉRIESGÉOMÉTRIQUES

Sommaire

1.Suitesgéométriques................................................................................................................2

2.Exercice....................................................................................................................................6

3.Applicationdessuitesgéométriquesauxmathématiquesfinancières...................................7

4.

Vocabulaire..............................................................................................................................7

5.Exercices:................................................................................................................................8

6.Sériesgéométriques................................................................................................................9

7.Exercices................................................................................................................................11

8.Applicationdessériesgéométriquesauxmathématiquesfinancières.................................12

Lorsd'unplacement,lavaleurd'uninvestissementpeutvarierenfonctiondutemps. L'étuded'unplacementàdifférentesdatesproduitunesuitedevaleurs.L'indicedela bourse,parexemple,représenteluiͲmêmeunesuitealéatoire.Vousavezsûrementdéjà observéunecourbedetendanceboursièretellequecelleͲci: Cettecourben'estenfaitqu'unevisualisationdelasuitechronologique:

10Ͳjuin7542

11Ͳjuin7623

12Ͳjuin7743

13Ͳjuin7471

14Ͳjuin7443

15Ͳjuin7501

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Larubriqueactuelletraiteradoncdel'étudedessuitesetdesséries.Plus particulièrement,nousétudieronslessuitesetsériesgéométriquespuisquecellesͲci fontl'objetdelaplupartdescontratsbancaires(placements,emprunts,hypothèques).

1. Suitesgéométriques

nombres.L'indicedechaquetermedelasuiteindiquelapositionoul'ordredanslequel setrouveunedonnéespécifique.Cetordreimporteénormément.Parexemple,lasuite mêmes.

Définition

sestermessatisfontàlaformulederécurrence:

Exemple1

obtenuduprécédentenlemultipliantpar2.

Formestandard

Engénéral,nousexprimonsplutôtletermeܽ

d'unesuitegéométriqueenfonctiondeݎ etdutermeinitialܽ parlaformule

Exemple2

Lesactionsd'unecompagniesontinitialementémisesauprixde10$.Àtoutesles années,lavaleurd'uneactions'accroîtde25%. Montrerquelavaleurd'uneactionproduitunesuitegéométrique. Calculerlavaleurdel'actiondixansaprèssonémission.

Tracerlacourbedes

variationsdelavaleurdel'actionsurunepériodede10ansaprès sonémission.

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Solution

Chaqueannée,uneactions'accroîtde25%desavaleur,ainsi Cetteexpressionsatisfaitàlaformederécurrenced'unesuitegéométriquederaison 1,25.

Lavaleurinitialedel'actionestܽ

ൌͳͲ.Après10annéescomplètes,l'actionvaut Àl'aided'Excel,nouspouvonsdresserletableaudesvaleursdel'actionàchaquefin d'année. Lavaleurdel'action,autermedechaqueannée,estdoncdécritparlasuite L'exemplequenousvenonsdeprésenterdécrivaitunesuitegéométriquecroissante. estunesuitegéométriquedécroissantederaison

Unesuitegéométriqueest:

croissantesietseulementsiݎ ൐ ͳ

Page4sur13

Exemple3

LesréservesdepétroleenAlbertadiminuentde10%àchaqueannée. Sachantque100000Mlconstituaientlesréservesinitiales,montrerquelesréservesde pétroledécriventunesuitegéométriquedécroissanteetentrouverlaraison. QuelvolumeresteͲtͲilquatreannéesplustard?

Tracerle

diagrammedesvariationssurunepériodede20ans.

Solution

Chaqueannée,levolumediminuede10%parrapportàl'annéeprécédente: Cetterelationsatisfaitàlaformederécurrenced'unesuitegéométriquederaison0,90.

ൌ ͳͲͲͲͲͲ.Après4annéescomplètes,lesréservesdepétroles'établissentà

Ilrestedonc65610Mldepétroledanslesréservesaprèsquatreannées. Laformulederécurrencepermetaussid'obtenirlavaleurd'unélémentd'unesuitesans connaîtreܽ maisplutôtunélémentquelconqueܽ

Eneffet,touttermeܽ

d'unesuite géométriquederaisonݎestobtenudutermeܽ parlarelation

Exemple4

LafortunepersonnelledeGillBatesdoubleàchaqueannée.Silavaleurdesafortune étaitestiméeà32000000$en2000,àcombienétaitͲelleen1995?Àlafindequelle annéelafortunedépasseraͲtͲellelemilliard(1000000000

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Solution

Chaqueannée,lemontantdelafortunedoubleparrapportàl'annéeprécédente .Ils'agitd'unesuitegéométriquederaison ൌ ʹ.Lavaleurinitialedela fortuneestinconnuemaiscetteinformationimportepeugrâceàlarelation

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SUITESETSÉRIESGÉOMÉTRIQUES

Sommaire

1.Suitesgéométriques................................................................................................................2

2.Exercice....................................................................................................................................6

3.Applicationdessuitesgéométriquesauxmathématiquesfinancières...................................7

4.

Vocabulaire..............................................................................................................................7

5.Exercices:................................................................................................................................8

6.Sériesgéométriques................................................................................................................9

7.Exercices................................................................................................................................11

8.Applicationdessériesgéométriquesauxmathématiquesfinancières.................................12

Lorsd'unplacement,lavaleurd'uninvestissementpeutvarierenfonctiondutemps. L'étuded'unplacementàdifférentesdatesproduitunesuitedevaleurs.L'indicedela bourse,parexemple,représenteluiͲmêmeunesuitealéatoire.Vousavezsûrementdéjà observéunecourbedetendanceboursièretellequecelleͲci: Cettecourben'estenfaitqu'unevisualisationdelasuitechronologique:

10Ͳjuin7542

11Ͳjuin7623

12Ͳjuin7743

13Ͳjuin7471

14Ͳjuin7443

15Ͳjuin7501

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Larubriqueactuelletraiteradoncdel'étudedessuitesetdesséries.Plus particulièrement,nousétudieronslessuitesetsériesgéométriquespuisquecellesͲci fontl'objetdelaplupartdescontratsbancaires(placements,emprunts,hypothèques).

1. Suitesgéométriques

nombres.L'indicedechaquetermedelasuiteindiquelapositionoul'ordredanslequel setrouveunedonnéespécifique.Cetordreimporteénormément.Parexemple,lasuite mêmes.

Définition

sestermessatisfontàlaformulederécurrence:

Exemple1

obtenuduprécédentenlemultipliantpar2.

Formestandard

Engénéral,nousexprimonsplutôtletermeܽ

d'unesuitegéométriqueenfonctiondeݎ etdutermeinitialܽ parlaformule

Exemple2

Lesactionsd'unecompagniesontinitialementémisesauprixde10$.Àtoutesles années,lavaleurd'uneactions'accroîtde25%. Montrerquelavaleurd'uneactionproduitunesuitegéométrique. Calculerlavaleurdel'actiondixansaprèssonémission.

Tracerlacourbedes

variationsdelavaleurdel'actionsurunepériodede10ansaprès sonémission.

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Solution

Chaqueannée,uneactions'accroîtde25%desavaleur,ainsi Cetteexpressionsatisfaitàlaformederécurrenced'unesuitegéométriquederaison 1,25.

Lavaleurinitialedel'actionestܽ

ൌͳͲ.Après10annéescomplètes,l'actionvaut Àl'aided'Excel,nouspouvonsdresserletableaudesvaleursdel'actionàchaquefin d'année. Lavaleurdel'action,autermedechaqueannée,estdoncdécritparlasuite L'exemplequenousvenonsdeprésenterdécrivaitunesuitegéométriquecroissante. estunesuitegéométriquedécroissantederaison

Unesuitegéométriqueest:

croissantesietseulementsiݎ ൐ ͳ

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Exemple3

LesréservesdepétroleenAlbertadiminuentde10%àchaqueannée. Sachantque100000Mlconstituaientlesréservesinitiales,montrerquelesréservesde pétroledécriventunesuitegéométriquedécroissanteetentrouverlaraison. QuelvolumeresteͲtͲilquatreannéesplustard?

Tracerle

diagrammedesvariationssurunepériodede20ans.

Solution

Chaqueannée,levolumediminuede10%parrapportàl'annéeprécédente: Cetterelationsatisfaitàlaformederécurrenced'unesuitegéométriquederaison0,90.

ൌ ͳͲͲͲͲͲ.Après4annéescomplètes,lesréservesdepétroles'établissentà

Ilrestedonc65610Mldepétroledanslesréservesaprèsquatreannées. Laformulederécurrencepermetaussid'obtenirlavaleurd'unélémentd'unesuitesans connaîtreܽ maisplutôtunélémentquelconqueܽ

Eneffet,touttermeܽ

d'unesuite géométriquederaisonݎestobtenudutermeܽ parlarelation

Exemple4

LafortunepersonnelledeGillBatesdoubleàchaqueannée.Silavaleurdesafortune étaitestiméeà32000000$en2000,àcombienétaitͲelleen1995?Àlafindequelle annéelafortunedépasseraͲtͲellelemilliard(1000000000

Page5sur13

Solution

Chaqueannée,lemontantdelafortunedoubleparrapportàl'annéeprécédente .Ils'agitd'unesuitegéométriquederaison ൌ ʹ.Lavaleurinitialedela fortuneestinconnuemaiscetteinformationimportepeugrâceàlarelation
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