Exercices : Intégrales impropres









Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres

Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres. 10.1 Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes et le cas échéant
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des intégrales impropres Intégrales impropres de fonctions positives INTÉGRALES IMPROPRES EXERCICES ET SOLUTIONS ... exercices corrigés. de boeck.
polycopie Naceri Mostepha


Exercices de mathématiques - Exo7

Correction ▽. [005714]. Exercice 3. (Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes : 1. (**) ∫ +∞.
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Corrigé des concours et propositions de concours national d'accès

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Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + xλ) . Montrer que I(λ) converge pour tout réel λ et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.
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Exercices : Intégrales impropres

Feuille d'exercices 2 Étudier la convergence et le cas échéant
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MAT302 : Séries et intégrales généralisées Université Grenoble

Exercice 4. ** Nature d'intégrales impropres. Déterminer la nature de chacune des intégrales impropres suivantes. 1. ∫ ∞.
MAT TD


Intégrales Généralisées

Il s'agit d'une fonction de Riemann avec = 2 intégrable en +∞. 7 converge. Allez à : Exercice 2. • Il y a un problème en 0 mais attention on ne peut 
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Mathématiques 3. DM1. CUPGE 2`eme année - automne 2020. Exercice 3. Intégrale impropres. Étudier la convergence des intégrales impropres suivante :.
DM corrige


Intégrales impropres

Calculer les intégrales suivantes après s'être assuré de leur convergence G. Auliac et J.Y. Caby : Exercices corrigés d'Analyse pour le Capes et ...
Intimp


247736Exercices : Intégrales impropres

ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Année 2013/2014Intégrales impropres

Feuille d"exercices

1Déterminer la nature des intégrales généralisées suivantes :

1. 1

0arctantlntptsintdt;

2. +1 0 e(lnt)2dt; 3. +1 0 (lnt)etdt; 4. +1 0 sin1t 2 dt; 5. +1

0ln(1+t)t

3=2dt;

6. +1 0 (3pt+13pt)pt dt;7. +1

0tsintt

dt(2R); 8. 1 0dt3 pt

2(1t2);

9. +1

1ln(t2t)(1+t)2dt;

10. =2 0 tantdt(2R); 11. 1 0 (lnt)dt(2R); 12. 1 0 tln(sint)dt(2R).

2Étudier la convergence et, le cas échéant, calculer les intégrales généralisées suivantes :

1. +1

0dt(t+1)(t+2);

2. =2 0 tantdt; 3. =2 =2sintpcostdt; 4. +1

0dt(t2+1)(t+1);

5. 2

1dtt(lnt)(2R);6.

1 0 tlntdt(2R); 7. +1 0

1tarctan1t

dt; 8. +1

0dtp1+et;

9. +1 0dtt

2+t+1;

10. 2

1dtp(t1)(2t).

31.Pour >0 donné, on considère l"intégrale impropre

+1

1sintt

dt:(1) a.Montrerquel"intégrale(1)estabsolumentconvergentesi,etseulementsi, >1. b.On suppose 0< 61. Montrer que l"intégrale (1) est (semi-)convergente.

2.En déduire, pour >0, la nature de l"intégrale

+1 0 ln

1+sintt

dt:

Indication.Onpourrautiliserundéveloppementasymptotiqueàdeuxtermesen+1.4Soitf:R+!Rune fonction de classeC1. On suppose qu"il existe un réel >0 tel

que pour toutx2R+,f0(x)>. Montrer que l"intégrale+1

1f(t)=t2dtdiverge.

51.Justi?er la convergence des intégrales

I= =2 0 ln(sint)dtet J= =2 0 ln(cost)dt et montrer que I=J.

2.En considérant I+J, calculer I et J.

61.Justi?er la convergence de l"intégrale I=

+1 0sin 3tt 2dt:

2.Montrer que :+1

0sin 3tt

2dt=34

limx!0 3x xsintt 2dt:

3.Montrer que la fonction

g:t7!sinttt 2 peut être prolongée par continuité à l"origine.

4.En déduire la valeur de I.

7Pourn2N, on pose

I n= +1

0dt(1+t2)n:

1.Justi?er la convergence des intégrales généralisées In,n>1.

2.Pourn>1, établir une relation de récurrence entre Inet In+1.

3.En déduire une expression de Inà l"aide de factorielles.

8Soitf: [1;+1[!Rune fonction continue telle que+1

1f(t)dt=1.

Montrer qu"il existex02]1;+1[tel quex20f(x0) =1.

9Montrer que l"application qui, à un polynôme P2Cn[X], associe le(n+1)-uplet de

complexes(z0;:::;zn)dé?ni par

8k2J0;nK;zk=

+1 0 ettkP(t)dt est un isomorphisme deCn[X]surCn+1.

10On pose :

8n2N;In=

+1

1ln(nt)(t2+t+1)ndt:

Montrer que la suite(In)n2Nest bien dé?nie et converge vers 0. ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles ExercicesIntégrales impropres - 2111.On pose :

8n2N;In=

+1 0 sint2+t3 ndt:

Étudier la convergence de la suite(In)n2N.

Indication.On pourra partager l"intervalle d"intégration en deux.

2.Même question avec :

8n2N;Jn=

+1

0dt(t5+1)n:

121.On considère la fonctionf:x2[0;+1[7!xex3jsinxj.

a.Pourn2N, justi?er que : u n= (n+1) nf(t)dt62(n+1)

ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Année 2013/2014Intégrales impropres

Feuille d"exercices

1Déterminer la nature des intégrales généralisées suivantes :

1. 1

0arctantlntptsintdt;

2. +1 0 e(lnt)2dt; 3. +1 0 (lnt)etdt; 4. +1 0 sin1t 2 dt; 5. +1

0ln(1+t)t

3=2dt;

6. +1 0 (3pt+13pt)pt dt;7. +1

0tsintt

dt(2R); 8. 1 0dt3 pt

2(1t2);

9. +1

1ln(t2t)(1+t)2dt;

10. =2 0 tantdt(2R); 11. 1 0 (lnt)dt(2R); 12. 1 0 tln(sint)dt(2R).

2Étudier la convergence et, le cas échéant, calculer les intégrales généralisées suivantes :

1. +1

0dt(t+1)(t+2);

2. =2 0 tantdt; 3. =2 =2sintpcostdt; 4. +1

0dt(t2+1)(t+1);

5. 2

1dtt(lnt)(2R);6.

1 0 tlntdt(2R); 7. +1 0

1tarctan1t

dt; 8. +1

0dtp1+et;

9. +1 0dtt

2+t+1;

10. 2

1dtp(t1)(2t).

31.Pour >0 donné, on considère l"intégrale impropre

+1

1sintt

dt:(1) a.Montrerquel"intégrale(1)estabsolumentconvergentesi,etseulementsi, >1. b.On suppose 0< 61. Montrer que l"intégrale (1) est (semi-)convergente.

2.En déduire, pour >0, la nature de l"intégrale

+1 0 ln

1+sintt

dt:

Indication.Onpourrautiliserundéveloppementasymptotiqueàdeuxtermesen+1.4Soitf:R+!Rune fonction de classeC1. On suppose qu"il existe un réel >0 tel

que pour toutx2R+,f0(x)>. Montrer que l"intégrale+1

1f(t)=t2dtdiverge.

51.Justi?er la convergence des intégrales

I= =2 0 ln(sint)dtet J= =2 0 ln(cost)dt et montrer que I=J.

2.En considérant I+J, calculer I et J.

61.Justi?er la convergence de l"intégrale I=

+1 0sin 3tt 2dt:

2.Montrer que :+1

0sin 3tt

2dt=34

limx!0 3x xsintt 2dt:

3.Montrer que la fonction

g:t7!sinttt 2 peut être prolongée par continuité à l"origine.

4.En déduire la valeur de I.

7Pourn2N, on pose

I n= +1

0dt(1+t2)n:

1.Justi?er la convergence des intégrales généralisées In,n>1.

2.Pourn>1, établir une relation de récurrence entre Inet In+1.

3.En déduire une expression de Inà l"aide de factorielles.

8Soitf: [1;+1[!Rune fonction continue telle que+1

1f(t)dt=1.

Montrer qu"il existex02]1;+1[tel quex20f(x0) =1.

9Montrer que l"application qui, à un polynôme P2Cn[X], associe le(n+1)-uplet de

complexes(z0;:::;zn)dé?ni par

8k2J0;nK;zk=

+1 0 ettkP(t)dt est un isomorphisme deCn[X]surCn+1.

10On pose :

8n2N;In=

+1

1ln(nt)(t2+t+1)ndt:

Montrer que la suite(In)n2Nest bien dé?nie et converge vers 0. ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles ExercicesIntégrales impropres - 2111.On pose :

8n2N;In=

+1 0 sint2+t3 ndt:

Étudier la convergence de la suite(In)n2N.

Indication.On pourra partager l"intervalle d"intégration en deux.

2.Même question avec :

8n2N;Jn=

+1

0dt(t5+1)n:

121.On considère la fonctionf:x2[0;+1[7!xex3jsinxj.

a.Pourn2N, justi?er que : u n= (n+1) nf(t)dt62(n+1)
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