Interférences – Notion de cohérence

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Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frCorrigé

Interférences - Notion de cohérence

OOO

ExerciceI Notion de coh´erence temporelleFigure1.1 - Dispositif des trous d"Young. La diérence de marches, à l"infini, est lue

comme l"écart entre les plans de phase (pointillés rouges) contenant S

2et S1.

1.

Les deux fentes S

1et S2sont des sources secondaires, issues de la source S, et ont

donc une relation de phase parfaitement déterminée. De plus, S

1et S2sont à égale

distance de S, donc le déphasage entre S

1et S2est nul. On notesila vibration issue

de la source S i.RappelApproximations usuelles Approximation scalaire : on néglige le caractère v ectorielde l"onde lumineuse (cf.TP polarisation), Interférences à grande distance : l;Da;;x;X. Les deux fentes sont identiques, doncs1(S1)=s0=s2(S2), avecsi(M)= s

0eiki(M). On a introduiti(m)=SiM. En M, les deux ondes se superposent selon

s(M)=s1(M)+s2(M)=s0eik1+eik2=s0eik011+eik0(21):

Première méthode1=S1M,2=S2M etk=2=. On a

S 1M=r xa2

2+D2+y2;

S 2M=r x+a2

2+D2+y2:

Ensuite, en faisant un développement limité au second ordre enx=D,y=Deta=D, on obtient

S1MS2M=aD

x: L"intensité est donnée parI=jsj2. En notantI0=2js0j2, l"intensité sur l"écran en l"absence d"interférence s"écrit I=I0 1+cos 2axD =I0"

1+cos 2

!#:(I.1) La figure d"interférence présente un interfrangei=D=a. Deuxième méthodeAvec O le point de l"axe optique situé entre S1et S2, on a

2i=!SiM2=!SiO+!OM

2=a24 +OM2+2!SiO·!OM:

Puisque OMDa,

iD0BBBBBB@1+!SiO·!OM+a2=8+x2=2D 21

CCCCCCAet21=!S2S1·!OMD

:Dernière modification : 17 septembre 20201/16

Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frLa diérence de marche entre les deux rayons parvenant au point M correspond donc

au segment(S1S2) sur la figure 1.1. On pourrait retrouver ce résultat par un raison- nement qualitatif. Puisqu"on place l"écran à grande distance, les ondes émises par les sources secondaires S

1et S2sont, au niveau de l"écran, des ondes planes. Les surfaces

de phase à considérer étant alors des plans, le chemin entre le point S

1et le point M

est égal à celui qui relie le point M au projeté de S

1sur S2M. La diérence de chemin

optique entre les deux chemins correspond bien seulement au segment(S1S2), soit =21=asinatan=axD Pour avoir des interférences constructives, il faut avoir =p;p2Z!x=Da |{z} =ip: RemarqueDans le cas de deux trous sources, le lieu des interférences constructives est donné par l"équation S

1MS2M=p;p2Z:

C"est l"équation d"hyperboloïdes de révolutionde foyers S1et S2, tels que représentés figure 1.2. RemarqueOn a ici fait comme si les deux fentes sources étaient en fait ponctuelles. Ilfaut,entouterigueur,aussiconsidérerlesinterférencesavectouteslesautressources secondaires alignées le long des fentes secondaires. Cela revient en fait à calculer la figuredediractionparlesfentesquivientmodulerlafigured"interférences.Onlaisse ce calcul pour le TD suivant. 2. Si l"on a deux composantes spectrales de fréquences 1=c=1et2=c=2,1, les ondes correspondant à ces deux composantes n"interfèrent pas entre elles. On dit qu"elles sontincohérentes entre elles. Dans ce cas, on additionne les figures d"inter- férence obtenues pour chaque longueur d"onde, et non pas les amplitudes. En eet, si on notesla superposition en un point~xde deux vibrations de pulsation

1et!2,

s=s0exp(i!1t+i~k1·~x)+s00exp(i!2t+i~k2·~x); Figure1.2 - Hyperboloïdes de révolution, lieux des interférences constructives de deux points sources. Observés sur l"écran E", ils correspondent aux franges d"Young. Source : www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/michelson/hyperbo.html alors

I(~x)/ jsj2=js0j2+js00j2+2Res

0s00exphi(!1!2)t+i(~k1~k2)·~xi:

On suppose, pour simplifier, mais sans perte de généralité ques0;s002R2. On peut alors écrire jsj2=js0j2+js00j2+2s0s00cosh(~k1~k2)·~x(!1!2)ti | {z } si!1,!2!battements de période 2=(!1!2): Le terme oscillant est nul en valeur moyenne quandTbattements, période temporelle des battements, etTdétecteur, temps de réponse du détecteur, vérifient T battementsnTdétecteur: Pour deux sources optiques distinctes, on a typiquementTbattement1015s,i.e.un temps beaucoup plus court que les temps de réponse des détecteurs les plus rapides (1010s). L"éclairement observé est donc simplement la somme des deux éclai- rementsjs0j2etjs00j2.Les deux vibrations lumineuses, de fréquences diérentes, n"interférent pas entre elles.

Dernière modification : 17 septembre 20202/16

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Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frEn revenant au cas des bifentes, avec deux fréquences1et2, l"intensité de la

figure d"interférences s"écrit I=I02 0

BBBBBBBBBBBBBBBBB@2+cos

2axcD 1 +cos 2axcD 2 | {z }

2cos2axcD

1+22 cos2axcD 212
1

CCCCCCCCCCCCCCCCCA:

On a ici supposé que la même intensitéI0=2 est contenue dans chaque composante spectrale. On pose=21et ¯=1+22 , alors I=I00

BBBBBBBBBBBB@1+cos

axcD | {z } contrasteCcos 2axcD

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Interférences - Notion de cohérence

OOO

ExerciceI Notion de coh´erence temporelleFigure1.1 - Dispositif des trous d"Young. La diérence de marches, à l"infini, est lue

comme l"écart entre les plans de phase (pointillés rouges) contenant S

2et S1.

1.

Les deux fentes S

1et S2sont des sources secondaires, issues de la source S, et ont

donc une relation de phase parfaitement déterminée. De plus, S

1et S2sont à égale

distance de S, donc le déphasage entre S

1et S2est nul. On notesila vibration issue

de la source S i.RappelApproximations usuelles Approximation scalaire : on néglige le caractère v ectorielde l"onde lumineuse (cf.TP polarisation), Interférences à grande distance : l;Da;;x;X. Les deux fentes sont identiques, doncs1(S1)=s0=s2(S2), avecsi(M)= s

0eiki(M). On a introduiti(m)=SiM. En M, les deux ondes se superposent selon

s(M)=s1(M)+s2(M)=s0eik1+eik2=s0eik011+eik0(21):

Première méthode1=S1M,2=S2M etk=2=. On a

S 1M=r xa2

2+D2+y2;

S 2M=r x+a2

2+D2+y2:

Ensuite, en faisant un développement limité au second ordre enx=D,y=Deta=D, on obtient

S1MS2M=aD

x: L"intensité est donnée parI=jsj2. En notantI0=2js0j2, l"intensité sur l"écran en l"absence d"interférence s"écrit I=I0 1+cos 2axD =I0"

1+cos 2

!#:(I.1) La figure d"interférence présente un interfrangei=D=a. Deuxième méthodeAvec O le point de l"axe optique situé entre S1et S2, on a

2i=!SiM2=!SiO+!OM

2=a24 +OM2+2!SiO·!OM:

Puisque OMDa,

iD0BBBBBB@1+!SiO·!OM+a2=8+x2=2D 21

CCCCCCAet21=!S2S1·!OMD

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au segment(S1S2) sur la figure 1.1. On pourrait retrouver ce résultat par un raison- nement qualitatif. Puisqu"on place l"écran à grande distance, les ondes émises par les sources secondaires S

1et S2sont, au niveau de l"écran, des ondes planes. Les surfaces

de phase à considérer étant alors des plans, le chemin entre le point S

1et le point M

est égal à celui qui relie le point M au projeté de S

1sur S2M. La diérence de chemin

optique entre les deux chemins correspond bien seulement au segment(S1S2), soit =21=asinatan=axD Pour avoir des interférences constructives, il faut avoir =p;p2Z!x=Da |{z} =ip: RemarqueDans le cas de deux trous sources, le lieu des interférences constructives est donné par l"équation S

1MS2M=p;p2Z:

C"est l"équation d"hyperboloïdes de révolutionde foyers S1et S2, tels que représentés figure 1.2. RemarqueOn a ici fait comme si les deux fentes sources étaient en fait ponctuelles. Ilfaut,entouterigueur,aussiconsidérerlesinterférencesavectouteslesautressources secondaires alignées le long des fentes secondaires. Cela revient en fait à calculer la figuredediractionparlesfentesquivientmodulerlafigured"interférences.Onlaisse ce calcul pour le TD suivant. 2. Si l"on a deux composantes spectrales de fréquences 1=c=1et2=c=2,1, les ondes correspondant à ces deux composantes n"interfèrent pas entre elles. On dit qu"elles sontincohérentes entre elles. Dans ce cas, on additionne les figures d"inter- férence obtenues pour chaque longueur d"onde, et non pas les amplitudes. En eet, si on notesla superposition en un point~xde deux vibrations de pulsation

1et!2,

s=s0exp(i!1t+i~k1·~x)+s00exp(i!2t+i~k2·~x); Figure1.2 - Hyperboloïdes de révolution, lieux des interférences constructives de deux points sources. Observés sur l"écran E", ils correspondent aux franges d"Young. Source : www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/michelson/hyperbo.html alors

I(~x)/ jsj2=js0j2+js00j2+2Res

0s00exphi(!1!2)t+i(~k1~k2)·~xi:

On suppose, pour simplifier, mais sans perte de généralité ques0;s002R2. On peut alors écrire jsj2=js0j2+js00j2+2s0s00cosh(~k1~k2)·~x(!1!2)ti | {z } si!1,!2!battements de période 2=(!1!2): Le terme oscillant est nul en valeur moyenne quandTbattements, période temporelle des battements, etTdétecteur, temps de réponse du détecteur, vérifient T battementsnTdétecteur: Pour deux sources optiques distinctes, on a typiquementTbattement1015s,i.e.un temps beaucoup plus court que les temps de réponse des détecteurs les plus rapides (1010s). L"éclairement observé est donc simplement la somme des deux éclai- rementsjs0j2etjs00j2.Les deux vibrations lumineuses, de fréquences diérentes, n"interférent pas entre elles.

Dernière modification : 17 septembre 20202/16

Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frEn revenant au cas des bifentes, avec deux fréquences1et2, l"intensité de la

figure d"interférences s"écrit I=I02 0

BBBBBBBBBBBBBBBBB@2+cos

2axcD 1 +cos 2axcD 2 | {z }

2cos2axcD

1+22 cos2axcD 212
1

CCCCCCCCCCCCCCCCCA:

On a ici supposé que la même intensitéI0=2 est contenue dans chaque composante spectrale. On pose=21et ¯=1+22 , alors I=I00

BBBBBBBBBBBB@1+cos

axcD | {z } contrasteCcos 2axcD