Séries chronologiques : recueil dexercices

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S´eries chronologiques : recueil d"exercices

R. S. Stoica

Universit´e Lille 1

Laboratoire Paul Painlev´e

59655 Villeneuve d"Ascq Cedex, France

radu.stoica@math.univ-lille1.fr

Septembre, 2009

21 IntroductionLes exercices de ce recueil ont servi pendant trois ans, comme support pour

les heures des travaux dirig´es et des travaux pratiques quicompl´etaient le cours "Pr´evisions dans les s´eries chronologiques", donn´e aux ´etudiants en derni`ere ann´ee de master pro par Marie-Claude Viano, puispar Thomas Simon. Marie-Claude Viano a beaucoup am´elior´e la qualit´e des ´enonc´es du point de vue de la rigueur math´ematique, de la logique et de l"orthographe.

Je tiens la remercier pour tous ses efforts.

Je serai ´egalement reconnaissant au lecteur qui aura bien la gentillesse de me signaler les eventuelles fautes trouv´ees dans le texte.Ceci, malgr´e mon orgueil un peu touch´e, ne fera qu"am´eliorer la qualit´e dece document. Ce recueil regroupe des exercices qui se trouvent majoritairement dans [1, 3,

2]. Le choix de ces exercices a ´et´e fait en fonction des objectifs du cours : fa-

miliariser l"´etudiant avec les s´eries chronologiques, d´etecter et travailler avec les tendances d"une s´erie temporelle, manipuler les mod`eles de type ARMA, utiliser la fonction de corr´elation et de corr´elation partielle en vue de la mod´elisation et finalement, effectuer et ´evaluer une pr´ediction qui s"appuie sur un mod`ele attach´e `a la s´erie observ´ee. Le logiciel utilis´e pendant les s´eances des travaux pratiques a´et´eR, disponible `a partir du sitehttp://www.r-project.org/. Les donn´ees r´eelles sur lesquel- les nous avons travaill´e sont accessibles `a partir du site http://www.statsci.org/. Pour terminer, je voudrais remercier ´egalement tous les coll`egues qui met- tent en libre acc`es sur leurs pages Web leurs ressources p´edagogiques. 3

2 Exercices pour les travaux dirig´es

Exercice 1.SoitXetYdeux variables al´eatoires avecE[Y] =μetE[Y2]< a) Montrez que la constantec=μminimiseE[(Y-c)2]. b) D´eduisez-en que la variable al´eatoiref(X) qui minimiseE[(Y-f(X))2|X] estf(X) =E[Y|X]. c) Prouvez que la variable al´eatoire qui minimiseE[(Y-f(X))2] est aussi f(X) =E[Y|X]. Exercice 2.Soit la s´erie d´efinie parXn=Zn+θZn-2, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) etθune constante r´eelle positive. a) On noteρX(h) =Cov(XnXn-h). CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourθ= 0.8 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourθ=-0.8.

Exercice 3.Soit la s´erie d´efinie parXn=φXn-2+Zn, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) et|φ|<1.{Xn}est stationnaire.{Zn}et{Xm}ne sont pas corr´el´ees pourm < n. a) CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourφ= 0.9 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourφ=-0.9.

Exercice 4.Sur l"ensemble des suites, on d´efinit l"op´erateur diff´erence premi`ere ?par (?x)n=xn-xn-1. Sixn=?pk=0cknkavecn?V, montrez que (?x)nest un polynˆome de degr´ep-1 et que (?p+1x)n= 0. Exercice 5.Soient{x1,x2,...,xn}les valeurs observ´ees d"une s´erie tem- porelle et ˆρn(h) la fonction d"auto-corr´elation empirique. Prouvez que : a) Sixt=a+bt, o`uaetb?= 0 sont des constantes, montrez que pourhfix´e lim n→∞ˆρn(h) = 1 b) Sixt=ccos(ωt) o`uc?= 0 etω?(-π,π] sont des constantes, montrez que pourhfix´ee limn→∞ˆρn(h) =cos(ωh)

4Rappels peut ˆetre utiles ...•E[Y] =E[E[Y|X]]

•Cov(aX+bY,cU+dV) =acCov(X,U) +adCov(X,V) +bcCov(Y,U) + bdCov(Y,V)

•?nk=1k2=n(n+1)(2n+1)

6 Exercice 6.L"op´eration qui `a la suiteunassocie la suitevn=?qj=-qajun-j s"appelle filtrage. Soit le filtre (moyenne mobile) donn´e par les coefficients a a) Simn=c0+c1n, montrez que?qj=-qajmn-j=mn. b) SiZn,n= 0,±1,±2,...sont des v.a. ind´ependantes de moyenne nulle et varianceσ2, montrez que la moyenne mobileAn=?qj=-qajZn-jest "petite" pourqgrand, c"est `a direE[An] = 0 etV ar[An] =σ2 2q+1. Exercice 7.AetBsont des variables al´eatoires non-corr´el´ees etωest une fr´equence de valeur fix´ee dans l"intervalle [0,π]. Montrez que le processus X t=Acosωt+Bsinωtest stationnaire et calculez son esp´erance et sa fonc- tion d"auto-covariance.

Exercice 8.

a) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleXt=Zt+

0.3Zt-1-0.4Zt-2avec{Zt} ≂BB(0,1).

b) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleYt=Wt-

1.2Wt-1-1.6Wt-2avec{Wt} ≂BB(0,0.25).

c) Comparez les r´esultats obtenus. Exercice 9.Trouvez des s´eries temporelles ayant comme fonction d"auto- covariance les fonctions suivantes : a)σ(h) = 1, h= 0,±1,±2,... b)σ(h) = (-1)|h|, h= 0,±1,±2,... c)σ(h) = 1 + cos?πh

2?+ cos?πh4?, h= 0,±1,±2,...

d)

σ(h) =???1 sih= 0

0.4 sih=±1

0 sinon

Exercice 10.SoitX1,X2,...une s´erie stationnaire de moyenneμet fonction d"auto-corr´elationρ(·). Montrez que le meilleur pr´edicteur deXn+hde la 5 formeaXn+best obtenu pour les valeursa=ρ(h) etb=μ(1-ρ(h)). Exercice 11.Montrez que l"´equation auto-r´egressive X t=φXt-1+Zt, t= 0,±1,±2,... avecZt≂BB(0,σ2) et|φ|= 1 n"a pas de solution stationnaire.

Exercice 12.Montrez que

1

1-φz=-∞?

j=1φ

S´eries chronologiques : recueil d"exercices

R. S. Stoica

Universit´e Lille 1

Laboratoire Paul Painlev´e

59655 Villeneuve d"Ascq Cedex, France

radu.stoica@math.univ-lille1.fr

Septembre, 2009

21 IntroductionLes exercices de ce recueil ont servi pendant trois ans, comme support pour

les heures des travaux dirig´es et des travaux pratiques quicompl´etaient le cours "Pr´evisions dans les s´eries chronologiques", donn´e aux ´etudiants en derni`ere ann´ee de master pro par Marie-Claude Viano, puispar Thomas Simon. Marie-Claude Viano a beaucoup am´elior´e la qualit´e des ´enonc´es du point de vue de la rigueur math´ematique, de la logique et de l"orthographe.

Je tiens la remercier pour tous ses efforts.

Je serai ´egalement reconnaissant au lecteur qui aura bien la gentillesse de me signaler les eventuelles fautes trouv´ees dans le texte.Ceci, malgr´e mon orgueil un peu touch´e, ne fera qu"am´eliorer la qualit´e dece document. Ce recueil regroupe des exercices qui se trouvent majoritairement dans [1, 3,

2]. Le choix de ces exercices a ´et´e fait en fonction des objectifs du cours : fa-

miliariser l"´etudiant avec les s´eries chronologiques, d´etecter et travailler avec les tendances d"une s´erie temporelle, manipuler les mod`eles de type ARMA, utiliser la fonction de corr´elation et de corr´elation partielle en vue de la mod´elisation et finalement, effectuer et ´evaluer une pr´ediction qui s"appuie sur un mod`ele attach´e `a la s´erie observ´ee. Le logiciel utilis´e pendant les s´eances des travaux pratiques a´et´eR, disponible `a partir du sitehttp://www.r-project.org/. Les donn´ees r´eelles sur lesquel- les nous avons travaill´e sont accessibles `a partir du site http://www.statsci.org/. Pour terminer, je voudrais remercier ´egalement tous les coll`egues qui met- tent en libre acc`es sur leurs pages Web leurs ressources p´edagogiques. 3

2 Exercices pour les travaux dirig´es

Exercice 1.SoitXetYdeux variables al´eatoires avecE[Y] =μetE[Y2]< a) Montrez que la constantec=μminimiseE[(Y-c)2]. b) D´eduisez-en que la variable al´eatoiref(X) qui minimiseE[(Y-f(X))2|X] estf(X) =E[Y|X]. c) Prouvez que la variable al´eatoire qui minimiseE[(Y-f(X))2] est aussi f(X) =E[Y|X]. Exercice 2.Soit la s´erie d´efinie parXn=Zn+θZn-2, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) etθune constante r´eelle positive. a) On noteρX(h) =Cov(XnXn-h). CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourθ= 0.8 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourθ=-0.8.

Exercice 3.Soit la s´erie d´efinie parXn=φXn-2+Zn, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) et|φ|<1.{Xn}est stationnaire.{Zn}et{Xm}ne sont pas corr´el´ees pourm < n. a) CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourφ= 0.9 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourφ=-0.9.

Exercice 4.Sur l"ensemble des suites, on d´efinit l"op´erateur diff´erence premi`ere ?par (?x)n=xn-xn-1. Sixn=?pk=0cknkavecn?V, montrez que (?x)nest un polynˆome de degr´ep-1 et que (?p+1x)n= 0. Exercice 5.Soient{x1,x2,...,xn}les valeurs observ´ees d"une s´erie tem- porelle et ˆρn(h) la fonction d"auto-corr´elation empirique. Prouvez que : a) Sixt=a+bt, o`uaetb?= 0 sont des constantes, montrez que pourhfix´e lim n→∞ˆρn(h) = 1 b) Sixt=ccos(ωt) o`uc?= 0 etω?(-π,π] sont des constantes, montrez que pourhfix´ee limn→∞ˆρn(h) =cos(ωh)

4Rappels peut ˆetre utiles ...•E[Y] =E[E[Y|X]]

•Cov(aX+bY,cU+dV) =acCov(X,U) +adCov(X,V) +bcCov(Y,U) + bdCov(Y,V)

•?nk=1k2=n(n+1)(2n+1)

6 Exercice 6.L"op´eration qui `a la suiteunassocie la suitevn=?qj=-qajun-j s"appelle filtrage. Soit le filtre (moyenne mobile) donn´e par les coefficients a a) Simn=c0+c1n, montrez que?qj=-qajmn-j=mn. b) SiZn,n= 0,±1,±2,...sont des v.a. ind´ependantes de moyenne nulle et varianceσ2, montrez que la moyenne mobileAn=?qj=-qajZn-jest "petite" pourqgrand, c"est `a direE[An] = 0 etV ar[An] =σ2 2q+1. Exercice 7.AetBsont des variables al´eatoires non-corr´el´ees etωest une fr´equence de valeur fix´ee dans l"intervalle [0,π]. Montrez que le processus X t=Acosωt+Bsinωtest stationnaire et calculez son esp´erance et sa fonc- tion d"auto-covariance.

Exercice 8.

a) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleXt=Zt+

0.3Zt-1-0.4Zt-2avec{Zt} ≂BB(0,1).

b) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleYt=Wt-

1.2Wt-1-1.6Wt-2avec{Wt} ≂BB(0,0.25).

c) Comparez les r´esultats obtenus. Exercice 9.Trouvez des s´eries temporelles ayant comme fonction d"auto- covariance les fonctions suivantes : a)σ(h) = 1, h= 0,±1,±2,... b)σ(h) = (-1)|h|, h= 0,±1,±2,... c)σ(h) = 1 + cos?πh

2?+ cos?πh4?, h= 0,±1,±2,...

d)

σ(h) =???1 sih= 0

0.4 sih=±1

0 sinon

Exercice 10.SoitX1,X2,...une s´erie stationnaire de moyenneμet fonction d"auto-corr´elationρ(·). Montrez que le meilleur pr´edicteur deXn+hde la 5 formeaXn+best obtenu pour les valeursa=ρ(h) etb=μ(1-ρ(h)). Exercice 11.Montrez que l"´equation auto-r´egressive X t=φXt-1+Zt, t= 0,±1,±2,... avecZt≂BB(0,σ2) et|φ|= 1 n"a pas de solution stationnaire.

Exercice 12.Montrez que

1

1-φz=-∞?

j=1φ